数论中的局部与整体.pdf
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Introduction Global study Local world From local to global 数论中的局部与整体 梁 永祺 中国科学技术大学 梁 永祺 数论中的局部与整体 1 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry Introduction 引言 梁 永祺 数论中的局部与整体 2 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 数学的中心问题 I 数学的中心问题是什么？ I 解方程！ I 来源于物理的偏微分方程，例：流体力学的 Navier-Stokes 方程（Clay数学所的千禧年七大数学问题之一） I 来源于数学本身的方程：代数方程 I 例：一元一次方程，多元一次方程（线性代数：Gauss消去 法）， 梁 永祺 数论中的局部与整体 3 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 数学的中心问题 I 数学的中心问题是什么？ I 解方程！ I 来源于物理的偏微分方程，例：流体力学的 Navier-Stokes 方程（Clay数学所的千禧年七大数学问题之一） I 来源于数学本身的方程：代数方程 I 例：一元一次方程，多元一次方程（线性代数：Gauss消去 法）， 梁 永祺 数论中的局部与整体 3 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 数学的中心问题 I 数学的中心问题是什么？ I 解方程！ I 来源于物理的偏微分方程，例：流体力学的 Navier-Stokes 方程（Clay数学所的千禧年七大数学问题之一） I 来源于数学本身的方程：代数方程 I 例：一元一次方程，多元一次方程（线性代数：Gauss消去 法）， 梁 永祺 数论中的局部与整体 3 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 数学的中心问题 I 数学的中心问题是什么？ I 解方程！ I 来源于物理的偏微分方程，例：流体力学的 Navier-Stokes 方程（Clay数学所的千禧年七大数学问题之一） I 来源于数学本身的方程：代数方程 I 例：一元一次方程，多元一次方程（线性代数：Gauss消去 法）， 梁 永祺 数论中的局部与整体 3 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 数学的中心问题 I 数学的中心问题是什么？ I 解方程！ I 来源于物理的偏微分方程，例：流体力学的 Navier-Stokes 方程（Clay数学所的千禧年七大数学问题之一） I 来源于数学本身的方程：代数方程 I 例：一元一次方程，多元一次方程（线性代数：Gauss消去 法）， 梁 永祺 数论中的局部与整体 3 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 数学的中心问题 I 数学的中心问题是什么？ I 解方程！ I 来源于物理的偏微分方程，例：流体力学的 Navier-Stokes 方程（Clay数学所的千禧年七大数学问题之一） I 来源于数学本身的方程：代数方程 I 例：一元一次方程，多元一次方程（线性代数：Gauss消去 法），一元二次方程（求根公式）， 梁 永祺 数论中的局部与整体 3 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 数学的中心问题 I 数学的中心问题是什么？ I 解方程！ I 来源于物理的偏微分方程，例：流体力学的 Navier-Stokes 方程（Clay数学所的千禧年七大数学问题之一） I 来源于数学本身的方程：代数方程 I 例：一元一次方程，多元一次方程（线性代数：Gauss消去 法），一元二次方程（求根公式），一元三、四次方程（也 有求根公式，16世纪，Cardano和Ferrari）， 梁 永祺 数论中的局部与整体 3 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 数学的中心问题 I 数学的中心问题是什么？ I 解方程！ I 来源于物理的偏微分方程，例：流体力学的 Navier-Stokes 方程（Clay数学所的千禧年七大数学问题之一） I 来源于数学本身的方程：代数方程 I 例：一元一次方程，多元一次方程（线性代数：Gauss消去 法），一元二次方程（求根公式），一元三、四次方程（也 有求根公式，16世纪，Cardano和Ferrari），一元高次方程 （19世纪，Galois：不存在求根公式，通过群论来研究域扩 张：某个域扩张的Galois群不是可解群） 梁 永祺 数论中的局部与整体 3 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 什么是算术代数几何？ I 数论：研究整数的理论 I Z：每个整数都是素数的乘积 I Q = Frac(Z) 以及它的有限扩张 I 代数几何：研究代数簇的理论 I 即（多元多次）多项式方程组所定义的几何对象（“代数的 流形”称作代数簇，可以定义在任何域上，多项式的系数可 以在Q中取值，不仅仅是R和C） I 算术代数几何：介于数论和代数几何之间 I 研究多项式方程组的整数解、有理数解（或更一般的在数域 上的解） 梁 永祺 数论中的局部与整体 4 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 什么是算术代数几何？ I 数论：研究整数的理论 I Z：每个整数都是素数的乘积 I Q = Frac(Z) 以及它的有限扩张 I 代数几何：研究代数簇的理论 I 即（多元多次）多项式方程组所定义的几何对象（“代数的 流形”称作代数簇，可以定义在任何域上，多项式的系数可 以在Q中取值，不仅仅是R和C） I 算术代数几何：介于数论和代数几何之间 I 研究多项式方程组的整数解、有理数解（或更一般的在数域 上的解） 梁 永祺 数论中的局部与整体 4 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 什么是算术代数几何？ I 数论：研究整数的理论 I Z：每个整数都是素数的乘积 I Q = Frac(Z) 以及它的有限扩张 I 代数几何：研究代数簇的理论 I 即（多元多次）多项式方程组所定义的几何对象（“代数的 流形”称作代数簇，可以定义在任何域上，多项式的系数可 以在Q中取值，不仅仅是R和C） I 算术代数几何：介于数论和代数几何之间 I 研究多项式方程组的整数解、有理数解（或更一般的在数域 上的解） 梁 永祺 数论中的局部与整体 4 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 什么是算术代数几何？ I 数论：研究整数的理论 I Z：每个整数都是素数的乘积 I Q = Frac(Z) 以及它的有限扩张 I 代数几何：研究代数簇的理论 I 即（多元多次）多项式方程组所定义的几何对象（“代数的 流形”称作代数簇，可以定义在任何域上，多项式的系数可 以在Q中取值，不仅仅是R和C） I 算术代数几何：介于数论和代数几何之间 I 研究多项式方程组的整数解、有理数解（或更一般的在数域 上的解） 梁 永祺 数论中的局部与整体 4 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 什么是算术代数几何？ I 数论：研究整数的理论 I Z：每个整数都是素数的乘积 I Q = Frac(Z) 以及它的有限扩张 I 代数几何：研究代数簇的理论 I 即（多元多次）多项式方程组所定义的几何对象（“代数的 流形”称作代数簇，可以定义在任何域上，多项式的系数可 以在Q中取值，不仅仅是R和C） I 算术代数几何：介于数论和代数几何之间 I 研究多项式方程组的整数解、有理数解（或更一般的在数域 上的解） 梁 永祺 数论中的局部与整体 4 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 什么是算术代数几何？ I 数论：研究整数的理论 I Z：每个整数都是素数的乘积 I Q = Frac(Z) 以及它的有限扩张 I 代数几何：研究代数簇的理论 I 即（多元多次）多项式方程组所定义的几何对象（“代数的 流形”称作代数簇，可以定义在任何域上，多项式的系数可 以在Q中取值，不仅仅是R和C） I 算术代数几何：介于数论和代数几何之间 I 研究多项式方程组的整数解、有理数解（或更一般的在数域 上的解） 梁 永祺 数论中的局部与整体 4 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 什么是算术代数几何？ I 数论：研究整数的理论 I Z：每个整数都是素数的乘积 I Q = Frac(Z) 以及它的有限扩张 I 代数几何：研究代数簇的理论 I 即（多元多次）多项式方程组所定义的几何对象（“代数的 流形”称作代数簇，可以定义在任何域上，多项式的系数可 以在Q中取值，不仅仅是R和C） I 算术代数几何：介于数论和代数几何之间 I 研究多项式方程组的整数解、有理数解（或更一般的在数域 上的解） 梁 永祺 数论中的局部与整体 4 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 丢番图方程 I 整系数多项式方程求整数解称为Diophantine方程 I Hilbert第十问题（1900s）：是否存在一种由有限步构成的 一般算法来判断一个 Diophantine方程 是否可解？ I 否定的解决：1970s, Yuri Matiyasevic 不存在这样的算法。 I 仅仅是判断有没有解就很难，更不用说求解！ I 我们今天只关注在有理数里求解 I 已经非常困难，但是有一套非常有启发性的办法：可以从中 看出数学家们是怎么一步一步去逼近这个问题 梁 永祺 数论中的局部与整体 5 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 丢番图方程 I 整系数多项式方程求整数解称为Diophantine方程 I Hilbert第十问题（1900s）：是否存在一种由有限步构成的 一般算法来判断一个 Diophantine方程 是否可解？ I 否定的解决：1970s, Yuri Matiyasevic 不存在这样的算法。 I 仅仅是判断有没有解就很难，更不用说求解！ I 我们今天只关注在有理数里求解 I 已经非常困难，但是有一套非常有启发性的办法：可以从中 看出数学家们是怎么一步一步去逼近这个问题 梁 永祺 数论中的局部与整体 5 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 丢番图方程 I 整系数多项式方程求整数解称为Diophantine方程 I Hilbert第十问题（1900s）：是否存在一种由有限步构成的 一般算法来判断一个 Diophantine方程 是否可解？ I 否定的解决：1970s, Yuri Matiyasevic 不存在这样的算法。 I 仅仅是判断有没有解就很难，更不用说求解！ I 我们今天只关注在有理数里求解 I 已经非常困难，但是有一套非常有启发性的办法：可以从中 看出数学家们是怎么一步一步去逼近这个问题 梁 永祺 数论中的局部与整体 5 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 丢番图方程 I 整系数多项式方程求整数解称为Diophantine方程 I Hilbert第十问题（1900s）：是否存在一种由有限步构成的 一般算法来判断一个 Diophantine方程 是否可解？ I 否定的解决：1970s, Yuri Matiyasevic 不存在这样的算法。 I 仅仅是判断有没有解就很难，更不用说求解！ I 我们今天只关注在有理数里求解 I 已经非常困难，但是有一套非常有启发性的办法：可以从中 看出数学家们是怎么一步一步去逼近这个问题 梁 永祺 数论中的局部与整体 5 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 丢番图方程 I 整系数多项式方程求整数解称为Diophantine方程 I Hilbert第十问题（1900s）：是否存在一种由有限步构成的 一般算法来判断一个 Diophantine方程 是否可解？ I 否定的解决：1970s, Yuri Matiyasevic 不存在这样的算法。 I 仅仅是判断有没有解就很难，更不用说求解！ I 我们今天只关注在有理数里求解 I 已经非常困难，但是有一套非常有启发性的办法：可以从中 看出数学家们是怎么一步一步去逼近这个问题 梁 永祺 数论中的局部与整体 5 / 40 Introduction Global study Local world From local to global What is Arithmetic Geometry 丢番图方程 I 整系数多项式方程求整数解称为Diophantine方程 I Hilbert第十问题（1900s）：是否存在一种由有限步构成的 一般算法来判断一个 Diophantine方程 是否可解？ I 否定的解决：1970s, Yuri Matiyasevic 不存在这样的算法。 I 仅仅是判断有没有解就很难，更不用说求解！ I 我们今天只关注在有理数里求解 I 已经非常困难，但是有一套非常有启发性的办法：可以从中 看出数学家们是怎么一步一步去逼近这个问题 梁 永祺 数论中的局部与整体 5 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Global study 整体研究 梁 永祺 数论中的局部与整体 6 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 历史上非常著名的几个例子 I 哲学：几何决定算术！ I 对象：（光滑）代数簇 = 多项式方程组（系数在Q中） I 算术性质：有没有有理数解，有多少解？ I 几何性质：复数解构成一个复流形——经典的几何对象 I 例子：1维复流形 = 复曲线 = 代数曲线 = 黎曼曲面 梁 永祺 数论中的局部与整体 7 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 历史上非常著名的几个例子 I 哲学：几何决定算术！ I 对象：（光滑）代数簇 = 多项式方程组（系数在Q中） I 算术性质：有没有有理数解，有多少解？ I 几何性质：复数解构成一个复流形——经典的几何对象 I 例子：1维复流形 = 复曲线 = 代数曲线 = 黎曼曲面 梁 永祺 数论中的局部与整体 7 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 历史上非常著名的几个例子 I 哲学：几何决定算术！ I 对象：（光滑）代数簇 = 多项式方程组（系数在Q中） I 算术性质：有没有有理数解，有多少解？ I 几何性质：复数解构成一个复流形——经典的几何对象 I 例子：1维复流形 = 复曲线 = 代数曲线 = 黎曼曲面 梁 永祺 数论中的局部与整体 7 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 历史上非常著名的几个例子 I 哲学：几何决定算术！ I 对象：（光滑）代数簇 = 多项式方程组（系数在Q中） I 算术性质：有没有有理数解，有多少解？ I 几何性质：复数解构成一个复流形——经典的几何对象 I 例子：1维复流形 = 复曲线 = 代数曲线 = 黎曼曲面 梁 永祺 数论中的局部与整体 7 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 历史上非常著名的几个例子 I 哲学：几何决定算术！ I 对象：（光滑）代数簇 = 多项式方程组（系数在Q中） I 算术性质：有没有有理数解，有多少解？ I 几何性质：复数解构成一个复流形——经典的几何对象 I 例子：1维复流形 = 复曲线 = 代数曲线 = 黎曼曲面 梁 永祺 数论中的局部与整体 7 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 考虑复射影平面P2C = (C × C × C \ {(0, 0, 0)}) / ∼ 中由一个 齐次（d次）多项式方程P(x, y , z) = 0定义的(平面)曲线C I 对多项式作某些限制后对应的曲线C 是光滑曲线（= 紧黎曼 曲面） Definition g (C ) = 12 (d − 1)(d − 2) 称为平面曲线C 的亏格。 I 例：2次曲线（又称圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲 线）亏格为0。 I 这个定义是个好的数学概念/数学定义吗？ I 答：不好！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 8 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 考虑复射影平面P2C = (C × C × C \ {(0, 0, 0)}) / ∼ 中由一个 齐次（d次）多项式方程P(x, y , z) = 0定义的(平面)曲线C I 对多项式作某些限制后对应的曲线C 是光滑曲线（= 紧黎曼 曲面） Definition g (C ) = 12 (d − 1)(d − 2) 称为平面曲线C 的亏格。 I 例：2次曲线（又称圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲 线）亏格为0。 I 这个定义是个好的数学概念/数学定义吗？ I 答：不好！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 8 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 考虑复射影平面P2C = (C × C × C \ {(0, 0, 0)}) / ∼ 中由一个 齐次（d次）多项式方程P(x, y , z) = 0定义的(平面)曲线C I 对多项式作某些限制后对应的曲线C 是光滑曲线（= 紧黎曼 曲面） Definition g (C ) = 12 (d − 1)(d − 2) 称为平面曲线C 的亏格。 I 例：2次曲线（又称圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲 线）亏格为0。 I 这个定义是个好的数学概念/数学定义吗？ I 答：不好！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 8 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 考虑复射影平面P2C = (C × C × C \ {(0, 0, 0)}) / ∼ 中由一个 齐次（d次）多项式方程P(x, y , z) = 0定义的(平面)曲线C I 对多项式作某些限制后对应的曲线C 是光滑曲线（= 紧黎曼 曲面） Definition g (C ) = 12 (d − 1)(d − 2) 称为平面曲线C 的亏格。 I 例：2次曲线（又称圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲 线）亏格为0。 I 这个定义是个好的数学概念/数学定义吗？ I 答：不好！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 8 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 考虑复射影平面P2C = (C × C × C \ {(0, 0, 0)}) / ∼ 中由一个 齐次（d次）多项式方程P(x, y , z) = 0定义的(平面)曲线C I 对多项式作某些限制后对应的曲线C 是光滑曲线（= 紧黎曼 曲面） Definition g (C ) = 12 (d − 1)(d − 2) 称为平面曲线C 的亏格。 I 例：2次曲线（又称圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲 线）亏格为0。它们是由圆锥和平面相交得出来的：上文提 到的限制就是要求平面不要通过锥的顶点（那时正好交出一 对相交直线） I 这个定义是个好的数学概念/数学定义吗？ I 答：不好！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 8 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 考虑复射影平面P2C = (C × C × C \ {(0, 0, 0)}) / ∼ 中由一个 齐次（d次）多项式方程P(x, y , z) = 0定义的(平面)曲线C I 对多项式作某些限制后对应的曲线C 是光滑曲线（= 紧黎曼 曲面） Definition g (C ) = 12 (d − 1)(d − 2) 称为平面曲线C 的亏格。 I 例：2次曲线（又称圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲 线）亏格为0。它们是由圆锥和平面相交得出来的：上文提 到的限制就是要求平面不要通过锥的顶点（那时正好交出一 对相交直线） I 这个定义是个好的数学概念/数学定义吗？ I 答：不好！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 8 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 考虑复射影平面P2C = (C × C × C \ {(0, 0, 0)}) / ∼ 中由一个 齐次（d次）多项式方程P(x, y , z) = 0定义的(平面)曲线C I 对多项式作某些限制后对应的曲线C 是光滑曲线（= 紧黎曼 曲面） Definition g (C ) = 12 (d − 1)(d − 2) 称为平面曲线C 的亏格。 I 例：2次曲线（又称圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲 线）亏格为0。它们是由圆锥和平面相交得出来的：上文提 到的限制就是要求平面不要通过锥的顶点（那时正好交出一 对相交直线） I 这个定义是个好的数学概念/数学定义吗？ I 答：不好！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 8 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 考虑复射影平面P2C = (C × C × C \ {(0, 0, 0)}) / ∼ 中由一个 齐次（d次）多项式方程P(x, y , z) = 0定义的(平面)曲线C I 对多项式作某些限制后对应的曲线C 是光滑曲线（= 紧黎曼 曲面） Definition g (C ) = 12 (d − 1)(d − 2) 称为平面曲线C 的亏格。 I 例：2次曲线（又称圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲 线）亏格为0。它们是由圆锥和平面相交得出来的：上文提 到的限制就是要求平面不要通过锥的顶点（那时正好交出一 对相交直线） I 这个定义是个好的数学概念/数学定义吗？ I 答：不好！ 为什么不好？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 8 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 先验地（即未经证明论证之前），两条“同构”的曲线也许 会由不同的多项式来定义，但没有任何理由认为这两个多项 式的次数应该是一样的。做个坐标变换，方程就变了，但曲 线本身没变，那个方程只是一个表象而不是本质。 I 几何上称这不是 内蕴 的 I 内蕴：应该从曲线自身出发来给定义，而不是从外部的表象 （曲线的方程） I 好的定义：提取曲线在同构下的不变量，例如某些同调群 I 亏格g (C ) = dimC H1 (X , OX ) I 内蕴的量才是好的不变量，亏格可以用于分类光滑射影曲线 I 直观的讲就是黎曼曲面上洞的个数 梁 永祺 数论中的局部与整体 9 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 先验地（即未经证明论证之前），两条“同构”的曲线也许 会由不同的多项式来定义，但没有任何理由认为这两个多项 式的次数应该是一样的。做个坐标变换，方程就变了，但曲 线本身没变，那个方程只是一个表象而不是本质。 I 几何上称这不是 内蕴 的 I 内蕴：应该从曲线自身出发来给定义，而不是从外部的表象 （曲线的方程） I 好的定义：提取曲线在同构下的不变量，例如某些同调群 I 亏格g (C ) = dimC H1 (X , OX ) I 内蕴的量才是好的不变量，亏格可以用于分类光滑射影曲线 I 直观的讲就是黎曼曲面上洞的个数 梁 永祺 数论中的局部与整体 9 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 先验地（即未经证明论证之前），两条“同构”的曲线也许 会由不同的多项式来定义，但没有任何理由认为这两个多项 式的次数应该是一样的。做个坐标变换，方程就变了，但曲 线本身没变，那个方程只是一个表象而不是本质。 I 几何上称这不是 内蕴 的 I 内蕴：应该从曲线自身出发来给定义，而不是从外部的表象 （曲线的方程） I 好的定义：提取曲线在同构下的不变量，例如某些同调群 I 亏格g (C ) = dimC H1 (X , OX ) I 内蕴的量才是好的不变量，亏格可以用于分类光滑射影曲线 I 直观的讲就是黎曼曲面上洞的个数 梁 永祺 数论中的局部与整体 9 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 先验地（即未经证明论证之前），两条“同构”的曲线也许 会由不同的多项式来定义，但没有任何理由认为这两个多项 式的次数应该是一样的。做个坐标变换，方程就变了，但曲 线本身没变，那个方程只是一个表象而不是本质。 I 几何上称这不是 内蕴 的 I 内蕴：应该从曲线自身出发来给定义，而不是从外部的表象 （曲线的方程） I 好的定义：提取曲线在同构下的不变量，例如某些同调群 I 亏格g (C ) = dimC H1 (X , OX ) I 内蕴的量才是好的不变量，亏格可以用于分类光滑射影曲线 I 直观的讲就是黎曼曲面上洞的个数 梁 永祺 数论中的局部与整体 9 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 先验地（即未经证明论证之前），两条“同构”的曲线也许 会由不同的多项式来定义，但没有任何理由认为这两个多项 式的次数应该是一样的。做个坐标变换，方程就变了，但曲 线本身没变，那个方程只是一个表象而不是本质。 I 几何上称这不是 内蕴 的 I 内蕴：应该从曲线自身出发来给定义，而不是从外部的表象 （曲线的方程） I 好的定义：提取曲线在同构下的不变量，例如某些同调群 I 亏格g (C ) = dimC H1 (X , OX ) I 内蕴的量才是好的不变量，亏格可以用于分类光滑射影曲线 I 直观的讲就是黎曼曲面上洞的个数 梁 永祺 数论中的局部与整体 9 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 先验地（即未经证明论证之前），两条“同构”的曲线也许 会由不同的多项式来定义，但没有任何理由认为这两个多项 式的次数应该是一样的。做个坐标变换，方程就变了，但曲 线本身没变，那个方程只是一个表象而不是本质。 I 几何上称这不是 内蕴 的 I 内蕴：应该从曲线自身出发来给定义，而不是从外部的表象 （曲线的方程） I 好的定义：提取曲线在同构下的不变量，例如某些同调群 I 亏格g (C ) = dimC H1 (X , OX ) I 内蕴的量才是好的不变量，亏格可以用于分类光滑射影曲线 I 直观的讲就是黎曼曲面上洞的个数 梁 永祺 数论中的局部与整体 9 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何不变量：射影曲线（紧黎曼面）的亏格 I 先验地（即未经证明论证之前），两条“同构”的曲线也许 会由不同的多项式来定义，但没有任何理由认为这两个多项 式的次数应该是一样的。做个坐标变换，方程就变了，但曲 线本身没变，那个方程只是一个表象而不是本质。 I 几何上称这不是 内蕴 的 I 内蕴：应该从曲线自身出发来给定义，而不是从外部的表象 （曲线的方程） I 好的定义：提取曲线在同构下的不变量，例如某些同调群 I 亏格g (C ) = dimC H1 (X , OX ) I 内蕴的量才是好的不变量，亏格可以用于分类光滑射影曲线 I 直观的讲就是黎曼曲面上洞的个数 梁 永祺 数论中的局部与整体 9 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 算术性质 I 复数域 C 的算术性质是平凡的：所有多项式方程都有解。 我们只关心复流形的几何性质。 I 算术性质要考虑不是代数封闭的域，例如 Q I 考虑两曲线 C1 : x 2 + y 2 = −1 和 C2 : XY = −1 I 它们的几何性质是一样的：它们在 C 上是同构的（复流形 双全纯等价） √ √ I （线性可逆）变量替换：X = x + −1y ，Y = x − −1y I 但它们算术性质差很远：C1 没有有理数解；C2 有很多有理 数解 I 说好的几何决定算术呢？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 10 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 算术性质 I 复数域 C 的算术性质是平凡的：所有多项式方程都有解。 我们只关心复流形的几何性质。 I 算术性质要考虑不是代数封闭的域，例如 Q I 考虑两曲线 C1 : x 2 + y 2 = −1 和 C2 : XY = −1 I 它们的几何性质是一样的：它们在 C 上是同构的（复流形 双全纯等价） √ √ I （线性可逆）变量替换：X = x + −1y ，Y = x − −1y I 但它们算术性质差很远：C1 没有有理数解；C2 有很多有理 数解 I 说好的几何决定算术呢？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 10 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 算术性质 I 复数域 C 的算术性质是平凡的：所有多项式方程都有解。 我们只关心复流形的几何性质。 I 算术性质要考虑不是代数封闭的域，例如 Q I 考虑两曲线 C1 : x 2 + y 2 = −1 和 C2 : XY = −1 I 它们的几何性质是一样的：它们在 C 上是同构的（复流形 双全纯等价） √ √ I （线性可逆）变量替换：X = x + −1y ，Y = x − −1y I 但它们算术性质差很远：C1 没有有理数解；C2 有很多有理 数解 I 说好的几何决定算术呢？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 10 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 算术性质 I 复数域 C 的算术性质是平凡的：所有多项式方程都有解。 我们只关心复流形的几何性质。 I 算术性质要考虑不是代数封闭的域，例如 Q I 考虑两曲线 C1 : x 2 + y 2 = −1 和 C2 : XY = −1 I 它们的几何性质是一样的：它们在 C 上是同构的（复流形 双全纯等价） √ √ I （线性可逆）变量替换：X = x + −1y ，Y = x − −1y I 但它们算术性质差很远：C1 没有有理数解；C2 有很多有理 数解 I 说好的几何决定算术呢？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 10 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 算术性质 I 复数域 C 的算术性质是平凡的：所有多项式方程都有解。 我们只关心复流形的几何性质。 I 算术性质要考虑不是代数封闭的域，例如 Q I 考虑两曲线 C1 : x 2 + y 2 = −1 和 C2 : XY = −1 I 它们的几何性质是一样的：它们在 C 上是同构的（复流形 双全纯等价） √ √ I （线性可逆）变量替换：X = x + −1y ，Y = x − −1y I 但它们算术性质差很远：C1 没有有理数解；C2 有很多有理 数解 I 说好的几何决定算术呢？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 10 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 算术性质 I 复数域 C 的算术性质是平凡的：所有多项式方程都有解。 我们只关心复流形的几何性质。 I 算术性质要考虑不是代数封闭的域，例如 Q I 考虑两曲线 C1 : x 2 + y 2 = −1 和 C2 : XY = −1 I 它们的几何性质是一样的：它们在 C 上是同构的（复流形 双全纯等价） √ √ I （线性可逆）变量替换：X = x + −1y ，Y = x − −1y I 但它们算术性质差很远：C1 没有有理数解；C2 有很多有理 数解 I 说好的几何决定算术呢？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 10 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 算术性质 I 复数域 C 的算术性质是平凡的：所有多项式方程都有解。 我们只关心复流形的几何性质。 I 算术性质要考虑不是代数封闭的域，例如 Q I 考虑两曲线 C1 : x 2 + y 2 = −1 和 C2 : XY = −1 I 它们的几何性质是一样的：它们在 C 上是同构的（复流形 双全纯等价） √ √ I （线性可逆）变量替换：X = x + −1y ，Y = x − −1y I 但它们算术性质差很远：C1 没有有理数解；C2 有很多有理 数解 I 说好的几何决定算术呢？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 10 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格0 Theorem 令C 为亏格0的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 与 P1 的有理点（即Q ∪ {∞}）有一个自然的 一一对应。 I 其中，有理点就是指定义曲线的多项式方程在Q中的解 I 证明用到一个精彩的几何定理 Theorem (Bézout) 复射影平面中次数分别为 m 和 n 的两条曲线相交于 mn 个交 点。 I 必须是复的，否则可能无交点（圆与直线） I 必须是射影平面中，否则可能相交在无穷远处（平行线） I 计算个数时要算重数：例如二重点算两个（切线） 梁 永祺 数论中的局部与整体 11 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格0 Theorem 令C 为亏格0的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 与 P1 的有理点（即Q ∪ {∞}）有一个自然的 一一对应。 I 其中，有理点就是指定义曲线的多项式方程在Q中的解 I 证明用到一个精彩的几何定理 Theorem (Bézout) 复射影平面中次数分别为 m 和 n 的两条曲线相交于 mn 个交 点。 I 必须是复的，否则可能无交点（圆与直线） I 必须是射影平面中，否则可能相交在无穷远处（平行线） I 计算个数时要算重数：例如二重点算两个（切线） 梁 永祺 数论中的局部与整体 11 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格0 Theorem 令C 为亏格0的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 与 P1 的有理点（即Q ∪ {∞}）有一个自然的 一一对应。 I 其中，有理点就是指定义曲线的多项式方程在Q中的解 I 证明用到一个精彩的几何定理 Theorem (Bézout) 复射影平面中次数分别为 m 和 n 的两条曲线相交于 mn 个交 点。 I 必须是复的，否则可能无交点（圆与直线） I 必须是射影平面中，否则可能相交在无穷远处（平行线） I 计算个数时要算重数：例如二重点算两个（切线） 梁 永祺 数论中的局部与整体 11 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格0 Theorem 令C 为亏格0的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 与 P1 的有理点（即Q ∪ {∞}）有一个自然的 一一对应。 I 其中，有理点就是指定义曲线的多项式方程在Q中的解 I 证明用到一个精彩的几何定理 Theorem (Bézout) 复射影平面中次数分别为 m 和 n 的两条曲线相交于 mn 个交 点。 I 必须是复的，否则可能无交点（圆与直线） I 必须是射影平面中，否则可能相交在无穷远处（平行线） I 计算个数时要算重数：例如二重点算两个（切线） 梁 永祺 数论中的局部与整体 11 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格0 Theorem 令C 为亏格0的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 与 P1 的有理点（即Q ∪ {∞}）有一个自然的 一一对应。 I 其中，有理点就是指定义曲线的多项式方程在Q中的解 I 证明用到一个精彩的几何定理 Theorem (Bézout) 复射影平面中次数分别为 m 和 n 的两条曲线相交于 mn 个交 点。 I 必须是复的，否则可能无交点（圆与直线） I 必须是射影平面中，否则可能相交在无穷远处（平行线） I 计算个数时要算重数：例如二重点算两个（切线） 梁 永祺 数论中的局部与整体 11 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格0 Theorem 令C 为亏格0的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 与 P1 的有理点（即Q ∪ {∞}）有一个自然的 一一对应。 I 梁 永祺 数论中的局部与整体 11 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格1 Theorem (Mordell-Weil) 令C 为亏格1的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 是一个有限生成的阿贝尔群。 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的亚纯函数域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 I 3次曲线，亏格为1 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的函数亚纯域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax数论中的局部与整体 + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 梁 永祺 12 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格1 Theorem (Mordell-Weil) 令C 为亏格1的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 是一个有限生成的阿贝尔群。 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的亚纯函数域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 I 3次曲线，亏格为1 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的函数亚纯域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax数论中的局部与整体 + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 梁 永祺 12 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格1 Theorem (Mordell-Weil) 令C 为亏格1的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 是一个有限生成的阿贝尔群。 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的亚纯函数域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 I 3次曲线，亏格为1 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的函数亚纯域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax数论中的局部与整体 + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 梁 永祺 12 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格1 Theorem (Mordell-Weil) 令C 为亏格1的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 是一个有限生成的阿贝尔群。 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的亚纯函数域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 I 3次曲线，亏格为1 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的函数亚纯域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax数论中的局部与整体 + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 梁 永祺 12 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格1 Theorem (Mordell-Weil) 令C 为亏格1的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 是一个有限生成的阿贝尔群。 I Abel群结构。加法：A + B = C ，逆元：C 0 = −C ，零元： 无穷远点(0 : 1 : 0) ∈ P2 梁 永祺 数论中的局部与整体 12 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格1 Theorem (Mordell-Weil) 令C 为亏格1的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 是一个有限生成的阿贝尔群。 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的函数亚纯域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 I 3次曲线，亏格为1 I Abel群结构。 I 有限生成Abel群的结构定理：C (Q) ' Zr ⊕ F （其中F 是有 限交换群）可为有限可为无限。 I r = rank(E ) 称为秩 梁 永祺 数论中的局部与整体 12 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 亏格1 Theorem (Mordell-Weil) 令C 为亏格1的射影曲线。如果C 至少有一个有理点，那么它的有 理点的集合 C (Q) 是一个有限生成的阿贝尔群。 I Mordell：Q，Weil：一般数域（即Q的有限扩张） I 称C 为椭圆曲线（跟椭圆没有直接关系；间接关系：求椭圆 周长的积分称为椭圆函数，是椭圆曲线上的函数亚纯域中的 元素） I Weierstrass方程：y 2 = x 3 + ax + b, ∆ = 4a3 + 27b2 6= 0 I 3次曲线，亏格为1 I Abel群结构。 I 有限生成Abel群的结构定理：C (Q) ' Zr ⊕ F （其中F 是有 限交换群）可为有限可为无限。 I r = rank(E ) 称为秩 梁 永祺 数论中的局部与整体 12 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Birch–Swinnerton-Dyer猜想 I BSD猜想（Clay数学所的七大千禧年问题） Conjecture rank(E ) = ords=1 L(E , s) I 左边是一个代数量 I 右边L函数是个全纯复变函数，在s = 1处零点的重数是一个 来源于分析的量 I 先验地，L(E , s)是通过一个无穷乘积（每个素数对应一项： “局部”分量）定义出来的复“解析函数”（乘积仅仅在复 平面右半部收敛） I 全纯性的证明极其不平凡：1990s，Wiles，Wiles-Taylor证 明Fermat大定理的关键一步 梁 永祺 数论中的局部与整体 13 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Birch–Swinnerton-Dyer猜想 I BSD猜想（Clay数学所的七大千禧年问题） Conjecture rank(E ) = ords=1 L(E , s) I 左边是一个代数量 I 右边L函数是个全纯复变函数，在s = 1处零点的重数是一个 来源于分析的量 I 先验地，L(E , s)是通过一个无穷乘积（每个素数对应一项： “局部”分量）定义出来的复“解析函数”（乘积仅仅在复 平面右半部收敛） I 全纯性的证明极其不平凡：1990s，Wiles，Wiles-Taylor证 明Fermat大定理的关键一步 梁 永祺 数论中的局部与整体 13 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Birch–Swinnerton-Dyer猜想 I BSD猜想（Clay数学所的七大千禧年问题） Conjecture rank(E ) = ords=1 L(E , s) I 左边是一个代数量 I 右边L函数是个全纯复变函数，在s = 1处零点的重数是一个 来源于分析的量 I 先验地，L(E , s)是通过一个无穷乘积（每个素数对应一项： “局部”分量）定义出来的复“解析函数”（乘积仅仅在复 平面右半部收敛） I 全纯性的证明极其不平凡：1990s，Wiles，Wiles-Taylor证 明Fermat大定理的关键一步 梁 永祺 数论中的局部与整体 13 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Birch–Swinnerton-Dyer猜想 I BSD猜想（Clay数学所的七大千禧年问题） Conjecture rank(E ) = ords=1 L(E , s) I 左边是一个代数量 I 右边L函数是个全纯复变函数，在s = 1处零点的重数是一个 来源于分析的量 I 先验地，L(E , s)是通过一个无穷乘积（每个素数对应一项： “局部”分量）定义出来的复“解析函数”（乘积仅仅在复 平面右半部收敛） I 全纯性的证明极其不平凡：1990s，Wiles，Wiles-Taylor证 明Fermat大定理的关键一步 梁 永祺 数论中的局部与整体 13 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Birch–Swinnerton-Dyer猜想 I BSD猜想（Clay数学所的七大千禧年问题） Conjecture rank(E ) = ords=1 L(E , s) I 左边是一个代数量 I 右边L函数是个全纯复变函数，在s = 1处零点的重数是一个 来源于分析的量 I 先验地，L(E , s)是通过一个无穷乘积（每个素数对应一项： “局部”分量）定义出来的复“解析函数”（乘积仅仅在复 平面右半部收敛） I 全纯性的证明极其不平凡：1990s，Wiles，Wiles-Taylor证 明Fermat大定理的关键一步 梁 永祺 数论中的局部与整体 13 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 高亏格 Theorem (Faltings，1980s) 令C 为亏格≥ 2的射影曲线。那么 C (Q) 是一个有限集。 I 把Q换成一般数域也成立。 I 证明Faltings定理和Mordell-Weil定理关键：引入“高度”的 概念（有理数约分成既约分数后，分子分母中绝对值较大的 值） I 高度用于衡量有理点的算术复杂性 I Faltings定理的例子：C : x n + y n = z n I 当n ≥ 4时g (C ) ≥ 2，Faltings：这方程只有有限个有理解。 Theorem (Fermat’s last theorem. Wiles，1990s) 当n ≥ 3时，方程x n + y n = z n 没有非平凡有理数（整数）解。 梁 永祺 数论中的局部与整体 14 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 高亏格 Theorem (Faltings，1980s) 令C 为亏格≥ 2的射影曲线。那么 C (Q) 是一个有限集。 I 把Q换成一般数域也成立。 I 证明Faltings定理和Mordell-Weil定理关键：引入“高度”的 概念（有理数约分成既约分数后，分子分母中绝对值较大的 值） I 高度用于衡量有理点的算术复杂性 I Faltings定理的例子：C : x n + y n = z n I 当n ≥ 4时g (C ) ≥ 2，Faltings：这方程只有有限个有理解。 Theorem (Fermat’s last theorem. Wiles，1990s) 当n ≥ 3时，方程x n + y n = z n 没有非平凡有理数（整数）解。 梁 永祺 数论中的局部与整体 14 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 高亏格 Theorem (Faltings，1980s) 令C 为亏格≥ 2的射影曲线。那么 C (Q) 是一个有限集。 I 把Q换成一般数域也成立。 I 证明Faltings定理和Mordell-Weil定理关键：引入“高度”的 概念（有理数约分成既约分数后，分子分母中绝对值较大的 值） I 高度用于衡量有理点的算术复杂性 I Faltings定理的例子：C : x n + y n = z n I 当n ≥ 4时g (C ) ≥ 2，Faltings：这方程只有有限个有理解。 Theorem (Fermat’s last theorem. Wiles，1990s) 当n ≥ 3时，方程x n + y n = z n 没有非平凡有理数（整数）解。 梁 永祺 数论中的局部与整体 14 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 高亏格 Theorem (Faltings，1980s) 令C 为亏格≥ 2的射影曲线。那么 C (Q) 是一个有限集。 I 把Q换成一般数域也成立。 I 证明Faltings定理和Mordell-Weil定理关键：引入“高度”的 概念（有理数约分成既约分数后，分子分母中绝对值较大的 值） I 高度用于衡量有理点的算术复杂性 I Faltings定理的例子：C : x n + y n = z n I 当n ≥ 4时g (C ) ≥ 2，Faltings：这方程只有有限个有理解。 Theorem (Fermat’s last theorem. Wiles，1990s) 当n ≥ 3时，方程x n + y n = z n 没有非平凡有理数（整数）解。 梁 永祺 数论中的局部与整体 14 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 高亏格 Theorem (Faltings，1980s) 令C 为亏格≥ 2的射影曲线。那么 C (Q) 是一个有限集。 I 把Q换成一般数域也成立。 I 证明Faltings定理和Mordell-Weil定理关键：引入“高度”的 概念（有理数约分成既约分数后，分子分母中绝对值较大的 值） I 高度用于衡量有理点的算术复杂性 I Faltings定理的例子：C : x n + y n = z n I 当n ≥ 4时g (C ) ≥ 2，Faltings：这方程只有有限个有理解。 Theorem (Fermat’s last theorem. Wiles，1990s) 当n ≥ 3时，方程x n + y n = z n 没有非平凡有理数（整数）解。 梁 永祺 数论中的局部与整体 14 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 高亏格 Theorem (Faltings，1980s) 令C 为亏格≥ 2的射影曲线。那么 C (Q) 是一个有限集。 I 把Q换成一般数域也成立。 I 证明Faltings定理和Mordell-Weil定理关键：引入“高度”的 概念（有理数约分成既约分数后，分子分母中绝对值较大的 值） I 高度用于衡量有理点的算术复杂性 I Faltings定理的例子：C : x n + y n = z n I 当n ≥ 4时g (C ) ≥ 2，Faltings：这方程只有有限个有理解。 Theorem (Fermat’s last theorem. Wiles，1990s) 当n ≥ 3时，方程x n + y n = z n 没有非平凡有理数（整数）解。 梁 永祺 数论中的局部与整体 14 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何决定算术 I 曲线情形：几何不变量 =⇒ 算术性质 I 亏格0且存在有理点 =⇒ 无穷个有理点 I 亏格1且存在有理点 =⇒ 有理点组成有限生成的Abel群 I 亏格≥ 2（且存在有理点） =⇒ 有限个有理点 梁 永祺 数论中的局部与整体 15 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何决定算术 I 曲线情形：几何不变量 =⇒ 算术性质 I 亏格0且存在有理点 =⇒ 无穷个有理点 I 亏格1且存在有理点 =⇒ 有理点组成有限生成的Abel群 I 亏格≥ 2（且存在有理点） =⇒ 有限个有理点 梁 永祺 数论中的局部与整体 15 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何决定算术 I 曲线情形：几何不变量 =⇒ 算术性质 I 亏格0且存在有理点 =⇒ 无穷个有理点 I 亏格1且存在有理点 =⇒ 有理点组成有限生成的Abel群 I 亏格≥ 2（且存在有理点） =⇒ 有限个有理点 梁 永祺 数论中的局部与整体 15 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 几何决定算术 I 曲线情形：几何不变量 =⇒ 算术性质 I 亏格0且存在有理点 =⇒ 无穷个有理点 I 亏格1且存在有理点 =⇒ 有理点组成有限生成的Abel群 I 亏格≥ 2（且存在有理点） =⇒ 有限个有理点 梁 永祺 数论中的局部与整体 15 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local World 局部世界 梁 永祺 数论中的局部与整体 16 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 代数数论：有理数域与一般数域 I 数域K = Q的有限扩张 I 相似：Q = Frac(Z)，K = Frac(OK ) 其中OK 称为代数整数 环 I 区别：Z中整数可以唯一分解为素数的乘积 I OK 中代数整数分解为不可约元的乘积不唯一 √ √ I 例：在K = Q( −5)，O = Z[ K √ √ −5]中， 6 = 2 × 3 = (1 + −5)(1 − −5) I 经典代数数论的解决办法：不考虑数的分解，而考虑环 （Dedekind整环）的理想的素分解 I 以下的为表述方便只讨论Q，换成一般数域也都成立（要把 素数换成素理想） 梁 永祺 数论中的局部与整体 17 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 代数数论：有理数域与一般数域 I 数域K = Q的有限扩张 I 相似：Q = Frac(Z)，K = Frac(OK ) 其中OK 称为代数整数 环 I 区别：Z中整数可以唯一分解为素数的乘积 I OK 中代数整数分解为不可约元的乘积不唯一 √ √ I 例：在K = Q( −5)，O = Z[ K √ √ −5]中， 6 = 2 × 3 = (1 + −5)(1 − −5) I 经典代数数论的解决办法：不考虑数的分解，而考虑环 （Dedekind整环）的理想的素分解 I 以下的为表述方便只讨论Q，换成一般数域也都成立（要把 素数换成素理想） 梁 永祺 数论中的局部与整体 17 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 代数数论：有理数域与一般数域 I 数域K = Q的有限扩张 I 相似：Q = Frac(Z)，K = Frac(OK ) 其中OK 称为代数整数 环 I 区别：Z中整数可以唯一分解为素数的乘积 I OK 中代数整数分解为不可约元的乘积不唯一 √ √ I 例：在K = Q( −5)，O = Z[ K √ √ −5]中， 6 = 2 × 3 = (1 + −5)(1 − −5) I 经典代数数论的解决办法：不考虑数的分解，而考虑环 （Dedekind整环）的理想的素分解 I 以下的为表述方便只讨论Q，换成一般数域也都成立（要把 素数换成素理想） 梁 永祺 数论中的局部与整体 17 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 代数数论：有理数域与一般数域 I 数域K = Q的有限扩张 I 相似：Q = Frac(Z)，K = Frac(OK ) 其中OK 称为代数整数 环 I 区别：Z中整数可以唯一分解为素数的乘积 I OK 中代数整数分解为不可约元的乘积不唯一 √ √ I 例：在K = Q( −5)，O = Z[ K √ √ −5]中， 6 = 2 × 3 = (1 + −5)(1 − −5) I 经典代数数论的解决办法：不考虑数的分解，而考虑环 （Dedekind整环）的理想的素分解 I 以下的为表述方便只讨论Q，换成一般数域也都成立（要把 素数换成素理想） 梁 永祺 数论中的局部与整体 17 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 代数数论：有理数域与一般数域 I 数域K = Q的有限扩张 I 相似：Q = Frac(Z)，K = Frac(OK ) 其中OK 称为代数整数 环 I 区别：Z中整数可以唯一分解为素数的乘积 I OK 中代数整数分解为不可约元的乘积不唯一 √ √ I 例：在K = Q( −5)，O = Z[ K √ √ −5]中， 6 = 2 × 3 = (1 + −5)(1 − −5) I 经典代数数论的解决办法：不考虑数的分解，而考虑环 （Dedekind整环）的理想的素分解 I 以下的为表述方便只讨论Q，换成一般数域也都成立（要把 素数换成素理想） 梁 永祺 数论中的局部与整体 17 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 代数数论：有理数域与一般数域 I 数域K = Q的有限扩张 I 相似：Q = Frac(Z)，K = Frac(OK ) 其中OK 称为代数整数 环 I 区别：Z中整数可以唯一分解为素数的乘积 I OK 中代数整数分解为不可约元的乘积不唯一 √ √ I 例：在K = Q( −5)，O = Z[ K √ √ −5]中， 6 = 2 × 3 = (1 + −5)(1 − −5) I 经典代数数论的解决办法：不考虑数的分解，而考虑环 （Dedekind整环）的理想的素分解 I 以下的为表述方便只讨论Q，换成一般数域也都成立（要把 素数换成素理想） 梁 永祺 数论中的局部与整体 17 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 如何在有理数中解方程 I 例：x 2 + y 2 = −1有有理数解吗？为什么？ I 没有！因为Q ⊂ R所以X (R) = ∅ =⇒ X (Q) = ∅ I R的好处： I 对求极限封闭：即可以运用分析工具 I 离目标Q不太遥远：有理数是稠密的 I 称R是Q的完备化 I Q的其他的完备化？如果有，对研究有理点将很有帮助 梁 永祺 数论中的局部与整体 18 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 如何在有理数中解方程 I 例：x 2 + y 2 = −1有有理数解吗？为什么？ I 没有！因为Q ⊂ R所以X (R) = ∅ =⇒ X (Q) = ∅ I R的好处： I 对求极限封闭：即可以运用分析工具 I 离目标Q不太遥远：有理数是稠密的 I 称R是Q的完备化 I Q的其他的完备化？如果有，对研究有理点将很有帮助 梁 永祺 数论中的局部与整体 18 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 如何在有理数中解方程 I 例：x 2 + y 2 = −1有有理数解吗？为什么？ I 没有！因为Q ⊂ R所以X (R) = ∅ =⇒ X (Q) = ∅ I R的好处： I 对求极限封闭：即可以运用分析工具 I 离目标Q不太遥远：有理数是稠密的 I 称R是Q的完备化 I Q的其他的完备化？如果有，对研究有理点将很有帮助 梁 永祺 数论中的局部与整体 18 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 如何在有理数中解方程 I 例：x 2 + y 2 = −1有有理数解吗？为什么？ I 没有！因为Q ⊂ R所以X (R) = ∅ =⇒ X (Q) = ∅ I R的好处： I 对求极限封闭：即可以运用分析工具 I 离目标Q不太遥远：有理数是稠密的 I 称R是Q的完备化 I Q的其他的完备化？如果有，对研究有理点将很有帮助 梁 永祺 数论中的局部与整体 18 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 如何在有理数中解方程 I 例：x 2 + y 2 = −1有有理数解吗？为什么？ I 没有！因为Q ⊂ R所以X (R) = ∅ =⇒ X (Q) = ∅ I R的好处： I 对求极限封闭：即可以运用分析工具 I 离目标Q不太遥远：有理数是稠密的 I 称R是Q的完备化 I Q的其他的完备化？如果有，对研究有理点将很有帮助 梁 永祺 数论中的局部与整体 18 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 如何在有理数中解方程 I 例：x 2 + y 2 = −1有有理数解吗？为什么？ I 没有！因为Q ⊂ R所以X (R) = ∅ =⇒ X (Q) = ∅ I R的好处： I 对求极限封闭：即可以运用分析工具 I 离目标Q不太遥远：有理数是稠密的 I 称R是Q的完备化 I Q的其他的完备化？如果有，对研究有理点将很有帮助 梁 永祺 数论中的局部与整体 18 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 如何在有理数中解方程 I 例：x 2 + y 2 = −1有有理数解吗？为什么？ I 没有！因为Q ⊂ R所以X (R) = ∅ =⇒ X (Q) = ∅ I R的好处： I 对求极限封闭：即可以运用分析工具 I 离目标Q不太遥远：有理数是稠密的 I 称R是Q的完备化 I Q的其他的完备化？如果有，对研究有理点将很有帮助 梁 永祺 数论中的局部与整体 18 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 完备化 I 回顾Q完备化得到R的过程： I 在绝对值给出的距离之下：从Q开始，加入所有Cauchy列， 然后把收敛于相同极限的柯西列等同起来（即作一个等价关 系再求商），得到R I 如果在Q上能造出某种不一样的“绝对值”，那么同样的过 程将得到不一样的完备化。 梁 永祺 数论中的局部与整体 19 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 完备化 I 回顾Q完备化得到R的过程： I 在绝对值给出的距离之下：从Q开始，加入所有Cauchy列， 然后把收敛于相同极限的柯西列等同起来（即作一个等价关 系再求商），得到R I 如果在Q上能造出某种不一样的“绝对值”，那么同样的过 程将得到不一样的完备化。 梁 永祺 数论中的局部与整体 19 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 完备化 I 回顾Q完备化得到R的过程： I 在绝对值给出的距离之下：从Q开始，加入所有Cauchy列， 然后把收敛于相同极限的柯西列等同起来（即作一个等价关 系再求商），得到R I 如果在Q上能造出某种不一样的“绝对值”，那么同样的过 程将得到不一样的完备化。 梁 永祺 数论中的局部与整体 19 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 取定素数p ∈ Z I 对任意n ∈ Z，若p r |n但p r +1 6 |n，则定义p-adic赋 值vp (n) = r ∈ N。约定vp (0) = +∞。 I 自然地扩展到Q：vp ( m n ) = vp (m) − vp (n) 定义不依赖于分数 表达式的选取 I p-adic绝对值：∀a ∈ Q, |a|p = ( p1 )vp (a) I 这是一个范数： I |a|p ≥ 0, |a|p = 0 ⇔ a = 0 I |ab|p = |a|p · |b|p I |a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p ) ≤ |a|p + |b|p （强三角不等式） 梁 永祺 数论中的局部与整体 20 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 取定素数p ∈ Z I 对任意n ∈ Z，若p r |n但p r +1 6 |n，则定义p-adic赋 值vp (n) = r ∈ N。约定vp (0) = +∞。 I 自然地扩展到Q：vp ( m n ) = vp (m) − vp (n) 定义不依赖于分数 表达式的选取 I p-adic绝对值：∀a ∈ Q, |a|p = ( p1 )vp (a) I 这是一个范数： I |a|p ≥ 0, |a|p = 0 ⇔ a = 0 I |ab|p = |a|p · |b|p I |a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p ) ≤ |a|p + |b|p （强三角不等式） 梁 永祺 数论中的局部与整体 20 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 取定素数p ∈ Z I 对任意n ∈ Z，若p r |n但p r +1 6 |n，则定义p-adic赋 值vp (n) = r ∈ N。约定vp (0) = +∞。 I 自然地扩展到Q：vp ( m n ) = vp (m) − vp (n) 定义不依赖于分数 表达式的选取 I p-adic绝对值：∀a ∈ Q, |a|p = ( p1 )vp (a) I 这是一个范数： I |a|p ≥ 0, |a|p = 0 ⇔ a = 0 I |ab|p = |a|p · |b|p I |a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p ) ≤ |a|p + |b|p （强三角不等式） 梁 永祺 数论中的局部与整体 20 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 取定素数p ∈ Z I 对任意n ∈ Z，若p r |n但p r +1 6 |n，则定义p-adic赋 值vp (n) = r ∈ N。约定vp (0) = +∞。 I 自然地扩展到Q：vp ( m n ) = vp (m) − vp (n) 定义不依赖于分数 表达式的选取 I p-adic绝对值：∀a ∈ Q, |a|p = ( p1 )vp (a) I 这是一个范数： I |a|p ≥ 0, |a|p = 0 ⇔ a = 0 I |ab|p = |a|p · |b|p I |a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p ) ≤ |a|p + |b|p （强三角不等式） 梁 永祺 数论中的局部与整体 20 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 取定素数p ∈ Z I 对任意n ∈ Z，若p r |n但p r +1 6 |n，则定义p-adic赋 值vp (n) = r ∈ N。约定vp (0) = +∞。 I 自然地扩展到Q：vp ( m n ) = vp (m) − vp (n) 定义不依赖于分数 表达式的选取 I p-adic绝对值：∀a ∈ Q, |a|p = ( p1 )vp (a) I 这是一个范数： I |a|p ≥ 0, |a|p = 0 ⇔ a = 0 I |ab|p = |a|p · |b|p I |a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p ) ≤ |a|p + |b|p （强三角不等式） 梁 永祺 数论中的局部与整体 20 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 取定素数p ∈ Z I 对任意n ∈ Z，若p r |n但p r +1 6 |n，则定义p-adic赋 值vp (n) = r ∈ N。约定vp (0) = +∞。 I 自然地扩展到Q：vp ( m n ) = vp (m) − vp (n) 定义不依赖于分数 表达式的选取 I p-adic绝对值：∀a ∈ Q, |a|p = ( p1 )vp (a) I 这是一个范数： I |a|p ≥ 0, |a|p = 0 ⇔ a = 0 I |ab|p = |a|p · |b|p I |a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p ) ≤ |a|p + |b|p （强三角不等式） 梁 永祺 数论中的局部与整体 20 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 取定素数p ∈ Z I 对任意n ∈ Z，若p r |n但p r +1 6 |n，则定义p-adic赋 值vp (n) = r ∈ N。约定vp (0) = +∞。 I 自然地扩展到Q：vp ( m n ) = vp (m) − vp (n) 定义不依赖于分数 表达式的选取 I p-adic绝对值：∀a ∈ Q, |a|p = ( p1 )vp (a) I 这是一个范数： I |a|p ≥ 0, |a|p = 0 ⇔ a = 0 I |ab|p = |a|p · |b|p I |a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p ) ≤ |a|p + |b|p （强三角不等式） 梁 永祺 数论中的局部与整体 20 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 最后一条|a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p )也称为非Archimedes性 质，与实数很不一样 I R具有 Archimedes性质： ∀x ∈ R, x > 0, ∀y ∈ R, ∃n ∈ N, nx > y I 即Q取R诱导的传统绝对值时，nx的绝对值随着n的增大而 增大 I 但在p-adic绝对值下可能出现|nx|p < |x|p 的情形，例 如 p1 = |p · 1|p < |1|p = 1 梁 永祺 数论中的局部与整体 21 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 最后一条|a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p )也称为非Archimedes性 质，与实数很不一样 I R具有 Archimedes性质： ∀x ∈ R, x > 0, ∀y ∈ R, ∃n ∈ N, nx > y I 即Q取R诱导的传统绝对值时，nx的绝对值随着n的增大而 增大 I 但在p-adic绝对值下可能出现|nx|p < |x|p 的情形，例 如 p1 = |p · 1|p < |1|p = 1 梁 永祺 数论中的局部与整体 21 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 最后一条|a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p )也称为非Archimedes性 质，与实数很不一样 I R具有 Archimedes性质： ∀x ∈ R, x > 0, ∀y ∈ R, ∃n ∈ N, nx > y I 即Q取R诱导的传统绝对值时，nx的绝对值随着n的增大而 增大 I 但在p-adic绝对值下可能出现|nx|p < |x|p 的情形，例 如 p1 = |p · 1|p < |1|p = 1 梁 永祺 数论中的局部与整体 21 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 最后一条|a + b|p ≤ max(|a|p , |b|p )也称为非Archimedes性 质，与实数很不一样 I R具有 Archimedes性质： ∀x ∈ R, x > 0, ∀y ∈ R, ∃n ∈ N, nx > y I 即Q取R诱导的传统绝对值时，nx的绝对值随着n的增大而 增大 I 但在p-adic绝对值下可能出现|nx|p < |x|p 的情形，例 如 p1 = |p · 1|p < |1|p = 1 梁 永祺 数论中的局部与整体 21 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 例子：p = 3 I （大）n1 = 36 = 32 · 22 ,vp (n1 ) = 2,|n1 |p = 91 （中） 1 I （中）n2 = 27 = 33 , vp (n2 ) = 3,|n2 |p = 27 （小） 1 I （小）n3 = 3, vp (n3 ) = 1,|n3 |p = 3 （大） I 回顾两个范数等价是指存在非零常数c使得对任意x有 1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c||x||1 c I 对于不同的素数p上面定义了互不等价的绝对值| · |p I 它们与经典的绝对值| · | = | · |∞ 也不等价 I 用| · |p 作为度量，对Q作完备化（添加Cauchy列，再作等价 关系求商），得到的记为Qp ：Q ⊂ Qp 稠密，在Qp 中可以做 分析学研究 I 统一记号：R = Q∞ 及 Ω = {素数} ∪ {∞} 梁 永祺 数论中的局部与整体 22 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 例子：p = 3 I （大）n1 = 36 = 32 · 22 ,vp (n1 ) = 2,|n1 |p = 91 （中） 1 I （中）n2 = 27 = 33 , vp (n2 ) = 3,|n2 |p = 27 （小） 1 I （小）n3 = 3, vp (n3 ) = 1,|n3 |p = 3 （大） I 回顾两个范数等价是指存在非零常数c使得对任意x有 1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c||x||1 c I 对于不同的素数p上面定义了互不等价的绝对值| · |p I 它们与经典的绝对值| · | = | · |∞ 也不等价 I 用| · |p 作为度量，对Q作完备化（添加Cauchy列，再作等价 关系求商），得到的记为Qp ：Q ⊂ Qp 稠密，在Qp 中可以做 分析学研究 I 统一记号：R = Q∞ 及 Ω = {素数} ∪ {∞} 梁 永祺 数论中的局部与整体 22 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 例子：p = 3 I （大）n1 = 36 = 32 · 22 ,vp (n1 ) = 2,|n1 |p = 91 （中） 1 I （中）n2 = 27 = 33 , vp (n2 ) = 3,|n2 |p = 27 （小） 1 I （小）n3 = 3, vp (n3 ) = 1,|n3 |p = 3 （大） I 回顾两个范数等价是指存在非零常数c使得对任意x有 1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c||x||1 c I 对于不同的素数p上面定义了互不等价的绝对值| · |p I 它们与经典的绝对值| · | = | · |∞ 也不等价 I 用| · |p 作为度量，对Q作完备化（添加Cauchy列，再作等价 关系求商），得到的记为Qp ：Q ⊂ Qp 稠密，在Qp 中可以做 分析学研究 I 统一记号：R = Q∞ 及 Ω = {素数} ∪ {∞} 梁 永祺 数论中的局部与整体 22 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 例子：p = 3 I （大）n1 = 36 = 32 · 22 ,vp (n1 ) = 2,|n1 |p = 91 （中） 1 I （中）n2 = 27 = 33 , vp (n2 ) = 3,|n2 |p = 27 （小） 1 I （小）n3 = 3, vp (n3 ) = 1,|n3 |p = 3 （大） I 回顾两个范数等价是指存在非零常数c使得对任意x有 1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c||x||1 c I 对于不同的素数p上面定义了互不等价的绝对值| · |p I 它们与经典的绝对值| · | = | · |∞ 也不等价 I 用| · |p 作为度量，对Q作完备化（添加Cauchy列，再作等价 关系求商），得到的记为Qp ：Q ⊂ Qp 稠密，在Qp 中可以做 分析学研究 I 统一记号：R = Q∞ 及 Ω = {素数} ∪ {∞} 梁 永祺 数论中的局部与整体 22 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 例子：p = 3 I （大）n1 = 36 = 32 · 22 ,vp (n1 ) = 2,|n1 |p = 91 （中） 1 I （中）n2 = 27 = 33 , vp (n2 ) = 3,|n2 |p = 27 （小） 1 I （小）n3 = 3, vp (n3 ) = 1,|n3 |p = 3 （大） I 回顾两个范数等价是指存在非零常数c使得对任意x有 1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c||x||1 c I 对于不同的素数p上面定义了互不等价的绝对值| · |p I 它们与经典的绝对值| · | = | · |∞ 也不等价 I 用| · |p 作为度量，对Q作完备化（添加Cauchy列，再作等价 关系求商），得到的记为Qp ：Q ⊂ Qp 稠密，在Qp 中可以做 分析学研究 I 统一记号：R = Q∞ 及 Ω = {素数} ∪ {∞} 梁 永祺 数论中的局部与整体 22 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic绝对值 I 例子：p = 3 I （大）n1 = 36 = 32 · 22 ,vp (n1 ) = 2,|n1 |p = 91 （中） 1 I （中）n2 = 27 = 33 , vp (n2 ) = 3,|n2 |p = 27 （小） 1 I （小）n3 = 3, vp (n3 ) = 1,|n3 |p = 3 （大） I 回顾两个范数等价是指存在非零常数c使得对任意x有 1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c||x||1 c I 对于不同的素数p上面定义了互不等价的绝对值| · |p I 它们与经典的绝对值| · | = | · |∞ 也不等价 I 用| · |p 作为度量，对Q作完备化（添加Cauchy列，再作等价 关系求商），得到的记为Qp ：Q ⊂ Qp 稠密，在Qp 中可以做 分析学研究 I 统一记号：R = Q∞ 及 Ω = {素数} ∪ {∞} 梁 永祺 数论中的局部与整体 22 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Q上的绝对值 Theorem (Ostrowski, 1916) Q上任何一个非平凡的绝对值等价于| · |p (p ∈ Ω)之一。 I 即Q的完备化只有R = Q∞ 与Qp I 因此考虑在Q中解多项式方程，首先要考虑如何在上述这些 完备化中解方程 I R中：经典的实分析/数学分析 I Qp 中：p-adic分析 梁 永祺 数论中的局部与整体 23 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Q上的绝对值 Theorem (Ostrowski, 1916) Q上任何一个非平凡的绝对值等价于| · |p (p ∈ Ω)之一。 I 即Q的完备化只有R = Q∞ 与Qp I 因此考虑在Q中解多项式方程，首先要考虑如何在上述这些 完备化中解方程 I R中：经典的实分析/数学分析 I Qp 中：p-adic分析 梁 永祺 数论中的局部与整体 23 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Q上的绝对值 Theorem (Ostrowski, 1916) Q上任何一个非平凡的绝对值等价于| · |p (p ∈ Ω)之一。 I 即Q的完备化只有R = Q∞ 与Qp I 因此考虑在Q中解多项式方程，首先要考虑如何在上述这些 完备化中解方程 I R中：经典的实分析/数学分析 I Qp 中：p-adic分析 梁 永祺 数论中的局部与整体 23 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Q上的绝对值 Theorem (Ostrowski, 1916) Q上任何一个非平凡的绝对值等价于| · |p (p ∈ Ω)之一。 I 即Q的完备化只有R = Q∞ 与Qp I 因此考虑在Q中解多项式方程，首先要考虑如何在上述这些 完备化中解方程 I R中：经典的实分析/数学分析 I Qp 中：p-adic分析 梁 永祺 数论中的局部与整体 23 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic分析 I 对Z作相应的完备化得到p-adic整数Zp ， Frac(Zp ) = Qp I 想法：把p-adic分析归结为初等数论！ I 代数的表达： n Zp = lim Z/p Z ⊂ ← − n ∞ Y Z/p n Z n=1 lim Z/p n Z := {(an )n≥1 |an ∈ Z/p n Z, an ≡ an+1 ← − mod p n } n I 换言之，在Zp 中求解方程相当于 mod p求解， mod p 2 求 解，……， mod p n 求解，……（初等数论！） I 在绝大部分情况下，其实可以更简单： mod p就够了 梁 永祺 数论中的局部与整体 24 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic分析 I 对Z作相应的完备化得到p-adic整数Zp ， Frac(Zp ) = Qp I 想法：把p-adic分析归结为初等数论！ I 代数的表达： n Zp = lim Z/p Z ⊂ ← − n ∞ Y Z/p n Z n=1 lim Z/p n Z := {(an )n≥1 |an ∈ Z/p n Z, an ≡ an+1 ← − mod p n } n I 换言之，在Zp 中求解方程相当于 mod p求解， mod p 2 求 解，……， mod p n 求解，……（初等数论！） I 在绝大部分情况下，其实可以更简单： mod p就够了 梁 永祺 数论中的局部与整体 24 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic分析 I 对Z作相应的完备化得到p-adic整数Zp ， Frac(Zp ) = Qp I 想法：把p-adic分析归结为初等数论！ I 代数的表达： n Zp = lim Z/p Z ⊂ ← − n ∞ Y Z/p n Z n=1 lim Z/p n Z := {(an )n≥1 |an ∈ Z/p n Z, an ≡ an+1 ← − mod p n } n I 换言之，在Zp 中求解方程相当于 mod p求解， mod p 2 求 解，……， mod p n 求解，……（初等数论！） I 在绝大部分情况下，其实可以更简单： mod p就够了 梁 永祺 数论中的局部与整体 24 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic分析 I 对Z作相应的完备化得到p-adic整数Zp ， Frac(Zp ) = Qp I 想法：把p-adic分析归结为初等数论！ I 代数的表达： n Zp = lim Z/p Z ⊂ ← − n ∞ Y Z/p n Z n=1 lim Z/p n Z := {(an )n≥1 |an ∈ Z/p n Z, an ≡ an+1 ← − mod p n } n I 换言之，在Zp 中求解方程相当于 mod p求解， mod p 2 求 解，……， mod p n 求解，……（初等数论！） I 在绝大部分情况下，其实可以更简单： mod p就够了 梁 永祺 数论中的局部与整体 24 / 40 Introduction Global study Local world From local to global p-adic分析 I 对Z作相应的完备化得到p-adic整数Zp ， Frac(Zp ) = Qp I 想法：把p-adic分析归结为初等数论！ I 代数的表达： n Zp = lim Z/p Z ⊂ ← − n ∞ Y Z/p n Z n=1 lim Z/p n Z := {(an )n≥1 |an ∈ Z/p n Z, an ≡ an+1 ← − mod p n } n I 换言之，在Zp 中求解方程相当于 mod p求解， mod p 2 求 解，……， mod p n 求解，……（初等数论！） I 在绝大部分情况下，其实可以更简单： mod p就够了 梁 永祺 数论中的局部与整体 24 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Hensel引理 Lemma (Hensel) 令f (x) ∈ Z[x]为整系数多项式，令k ∈ N, k ≥ 1，r ∈ Z使 得|f (r )|p ≤ p1k （即f (r ) ≡ 0 mod p k ）。 若|f 0 (r )|p = 1（即f 0 (r ) 6≡ 0 mod p）那么存在s ∈ Z使得 1 |f (s)|p ≤ k+1 （即f (s) ≡ 0 mod p k+1 ）且 p 1 |s − r |p ≤ k （即s ≡ r mod p k ） p I 初等数论角度：存在 mod p解 =⇒ 存在 mod p 2 解 =⇒ 存 在 mod p 3 解 =⇒ ……（从而存在Zp 解）而X (Fp )容易计算 （计算机可以处理有限域） I 分析角度：Newton迭代法的类比，近似解逐步逼近 I |f 0 (r )|p = 1（即f 0 (r ) 6≡ 0 mod p）的几何意义：X mod p后仍“光滑”（除去有限个素数外总是成立的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 25 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Hensel引理 Lemma (Hensel) 令f (x) ∈ Z[x]为整系数多项式，令k ∈ N, k ≥ 1，r ∈ Z使 得|f (r )|p ≤ p1k （即f (r ) ≡ 0 mod p k ）。 若|f 0 (r )|p = 1（即f 0 (r ) 6≡ 0 mod p）那么存在s ∈ Z使得 1 |f (s)|p ≤ k+1 （即f (s) ≡ 0 mod p k+1 ）且 p 1 |s − r |p ≤ k （即s ≡ r mod p k ） p I 初等数论角度：存在 mod p解 =⇒ 存在 mod p 2 解 =⇒ 存 在 mod p 3 解 =⇒ ……（从而存在Zp 解）而X (Fp )容易计算 （计算机可以处理有限域） I 分析角度：Newton迭代法的类比，近似解逐步逼近 I |f 0 (r )|p = 1（即f 0 (r ) 6≡ 0 mod p）的几何意义：X mod p后仍“光滑”（除去有限个素数外总是成立的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 25 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Hensel引理 Lemma (Hensel) 令f (x) ∈ Z[x]为整系数多项式，令k ∈ N, k ≥ 1，r ∈ Z使 得|f (r )|p ≤ p1k （即f (r ) ≡ 0 mod p k ）。 若|f 0 (r )|p = 1（即f 0 (r ) 6≡ 0 mod p）那么存在s ∈ Z使得 1 |f (s)|p ≤ k+1 （即f (s) ≡ 0 mod p k+1 ）且 p 1 |s − r |p ≤ k （即s ≡ r mod p k ） p I 初等数论角度：存在 mod p解 =⇒ 存在 mod p 2 解 =⇒ 存 在 mod p 3 解 =⇒ ……（从而存在Zp 解）而X (Fp )容易计算 （计算机可以处理有限域） I 分析角度：Newton迭代法的类比，近似解逐步逼近 I |f 0 (r )|p = 1（即f 0 (r ) 6≡ 0 mod p）的几何意义：X mod p后仍“光滑”（除去有限个素数外总是成立的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 25 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Hensel引理 Lemma (Hensel) 令f (x) ∈ Z[x]为整系数多项式，令k ∈ N, k ≥ 1，r ∈ Z使 得|f (r )|p ≤ p1k （即f (r ) ≡ 0 mod p k ）。 若|f 0 (r )|p = 1（即f 0 (r ) 6≡ 0 mod p）那么存在s ∈ Z使得 1 |f (s)|p ≤ k+1 （即f (s) ≡ 0 mod p k+1 ）且 p 1 |s − r |p ≤ k （即s ≡ r mod p k ） p I 初等数论角度：存在 mod p解 =⇒ 存在 mod p 2 解 =⇒ 存 在 mod p 3 解 =⇒ ……（从而存在Zp 解）而X (Fp )容易计算 （计算机可以处理有限域） I 分析角度：Newton迭代法的类比，近似解逐步逼近 I |f 0 (r )|p = 1（即f 0 (r ) 6≡ 0 mod p）的几何意义：X mod p后仍“光滑”（除去有限个素数外总是成立的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 25 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 数论中的局部 I Qp 称为局部域。为什么叫“局部”？ I 两个原因：1.Qp 的拓扑是局部紧的。2.…… I Grothendick的现代代数几何语言：把Z看作一条“曲线” （1维概型）C = Spec(Z) I 每个素数p成为C上的一个点 I Zp 的一个子环Z(p) = Zp ∩ Q称为Z在p处的局部 化。Spec(Z(p) ) → C 的像是p这一点的所有开邻域的交。确 实是几何意义上的“局部” I Q称为整体域，对应于C 的point générique，这个点的闭包 是C （对应于“整体”） I 注意：跟经典的几何一样，各个局部之间并不是独立的，是 相互有联系的！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 26 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 数论中的局部 I Qp 称为局部域。为什么叫“局部”？ I 两个原因：1.Qp 的拓扑是局部紧的。2.…… I Grothendick的现代代数几何语言：把Z看作一条“曲线” （1维概型）C = Spec(Z) I 每个素数p成为C上的一个点 I Zp 的一个子环Z(p) = Zp ∩ Q称为Z在p处的局部 化。Spec(Z(p) ) → C 的像是p这一点的所有开邻域的交。确 实是几何意义上的“局部” I Q称为整体域，对应于C 的point générique，这个点的闭包 是C （对应于“整体”） I 注意：跟经典的几何一样，各个局部之间并不是独立的，是 相互有联系的！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 26 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 数论中的局部 I Qp 称为局部域。为什么叫“局部”？ I 两个原因：1.Qp 的拓扑是局部紧的。2.…… I Grothendick的现代代数几何语言：把Z看作一条“曲线” （1维概型）C = Spec(Z) I 每个素数p成为C上的一个点 I Zp 的一个子环Z(p) = Zp ∩ Q称为Z在p处的局部 化。Spec(Z(p) ) → C 的像是p这一点的所有开邻域的交。确 实是几何意义上的“局部” I Q称为整体域，对应于C 的point générique，这个点的闭包 是C （对应于“整体”） I 注意：跟经典的几何一样，各个局部之间并不是独立的，是 相互有联系的！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 26 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 数论中的局部 I Qp 称为局部域。为什么叫“局部”？ I 两个原因：1.Qp 的拓扑是局部紧的。2.…… I Grothendick的现代代数几何语言：把Z看作一条“曲线” （1维概型）C = Spec(Z) I 每个素数p成为C上的一个点 I Zp 的一个子环Z(p) = Zp ∩ Q称为Z在p处的局部 化。Spec(Z(p) ) → C 的像是p这一点的所有开邻域的交。确 实是几何意义上的“局部” I Q称为整体域，对应于C 的point générique，这个点的闭包 是C （对应于“整体”） I 注意：跟经典的几何一样，各个局部之间并不是独立的，是 相互有联系的！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 26 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 数论中的局部 I Qp 称为局部域。为什么叫“局部”？ I 两个原因：1.Qp 的拓扑是局部紧的。2.…… I Grothendick的现代代数几何语言：把Z看作一条“曲线” （1维概型）C = Spec(Z) I 每个素数p成为C上的一个点 I Zp 的一个子环Z(p) = Zp ∩ Q称为Z在p处的局部 化。Spec(Z(p) ) → C 的像是p这一点的所有开邻域的交。确 实是几何意义上的“局部” I Q称为整体域，对应于C 的point générique，这个点的闭包 是C （对应于“整体”） I 注意：跟经典的几何一样，各个局部之间并不是独立的，是 相互有联系的！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 26 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 数论中的局部 I Qp 称为局部域。为什么叫“局部”？ I 两个原因：1.Qp 的拓扑是局部紧的。2.…… I Grothendick的现代代数几何语言：把Z看作一条“曲线” （1维概型）C = Spec(Z) I 每个素数p成为C上的一个点 I Zp 的一个子环Z(p) = Zp ∩ Q称为Z在p处的局部 化。Spec(Z(p) ) → C 的像是p这一点的所有开邻域的交。确 实是几何意义上的“局部” I Q称为整体域，对应于C 的point générique，这个点的闭包 是C （对应于“整体”） I 注意：跟经典的几何一样，各个局部之间并不是独立的，是 相互有联系的！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 26 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 数论中的局部 I Qp 称为局部域。为什么叫“局部”？ I 两个原因：1.Qp 的拓扑是局部紧的。2.…… I Grothendick的现代代数几何语言：把Z看作一条“曲线” （1维概型）C = Spec(Z) I 每个素数p成为C上的一个点 I Zp 的一个子环Z(p) = Zp ∩ Q称为Z在p处的局部 化。Spec(Z(p) ) → C 的像是p这一点的所有开邻域的交。确 实是几何意义上的“局部” I Q称为整体域，对应于C 的point générique，这个点的闭包 是C （对应于“整体”） I 注意：跟经典的几何一样，各个局部之间并不是独立的，是 相互有联系的！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 26 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 二次互反律 I Legendre记号：设p 6 |a，若a mod p是平方数，则 a 令 = 1，否则为−1. p Theorem (Gauss二次互反律) p−1 q−1 q · 2 2 令p, q为奇素数，则 qp . p = (−1) I 这是关于x 2 = a这个方程在 mod p和 mod q在a变化时的可 解性的关系。 I 由Hensel引理，这相当于是讨论在Qp 和Qq 这两个不同的局 部中的解。Gauss的定理表明各个局部不是相互独立的。 I 这个结果是一个“整体性”的结果（同时关注了至少两个不 同的局部） 梁 永祺 数论中的局部与整体 27 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 二次互反律 I Legendre记号：设p 6 |a，若a mod p是平方数，则 a 令 = 1，否则为−1. p Theorem (Gauss二次互反律) p−1 q−1 q · 2 2 令p, q为奇素数，则 qp . p = (−1) I 这是关于x 2 = a这个方程在 mod p和 mod q在a变化时的可 解性的关系。 I 由Hensel引理，这相当于是讨论在Qp 和Qq 这两个不同的局 部中的解。Gauss的定理表明各个局部不是相互独立的。 I 这个结果是一个“整体性”的结果（同时关注了至少两个不 同的局部） 梁 永祺 数论中的局部与整体 27 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 二次互反律 I Legendre记号：设p 6 |a，若a mod p是平方数，则 a 令 = 1，否则为−1. p Theorem (Gauss二次互反律) p−1 q−1 q · 2 2 令p, q为奇素数，则 qp . p = (−1) I 这是关于x 2 = a这个方程在 mod p和 mod q在a变化时的可 解性的关系。 I 由Hensel引理，这相当于是讨论在Qp 和Qq 这两个不同的局 部中的解。Gauss的定理表明各个局部不是相互独立的。 I 这个结果是一个“整体性”的结果（同时关注了至少两个不 同的局部） 梁 永祺 数论中的局部与整体 27 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 二次互反律 I Legendre记号：设p 6 |a，若a mod p是平方数，则 a 令 = 1，否则为−1. p Theorem (Gauss二次互反律) p−1 q−1 q · 2 2 令p, q为奇素数，则 qp . p = (−1) I 这是关于x 2 = a这个方程在 mod p和 mod q在a变化时的可 解性的关系。 I 由Hensel引理，这相当于是讨论在Qp 和Qq 这两个不同的局 部中的解。Gauss的定理表明各个局部不是相互独立的。 I 这个结果是一个“整体性”的结果（同时关注了至少两个不 同的局部） 梁 永祺 数论中的局部与整体 27 / 40 Introduction Global study Local world From local to global 二次互反律 I Legendre记号：设p 6 |a，若a mod p是平方数，则 a 令 = 1，否则为−1. p Theorem (Gauss二次互反律) p−1 q−1 q · 2 2 令p, q为奇素数，则 qp . p = (−1) I 这是关于x 2 = a这个方程在 mod p和 mod q在a变化时的可 解性的关系。 I 由Hensel引理，这相当于是讨论在Qp 和Qq 这两个不同的局 部中的解。Gauss的定理表明各个局部不是相互独立的。 I 这个结果是一个“整体性”的结果（同时关注了至少两个不 同的局部） 梁 永祺 数论中的局部与整体 27 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction From local to global 从局部到整体 梁 永祺 数论中的局部与整体 28 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部-整体 I 应该关注所有局部 Q → Y Qp ; a 7→ (a, a, . . .) p∈Ω I 诱导出单射X (Q) → Y X (Qp ) p∈Ω Question Q 如果 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅（即∀p ∈ Ω, X (Qp ) 6= ∅），是否 有X (Q) 6= ∅? 方程在每个局部有解，是否就在整体有解？ I 如果答案肯定，我们称有局部整体原则 梁 永祺 数论中的局部与整体 29 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部-整体 I 应该关注所有局部 Q → Y Qp ; a 7→ (a, a, . . .) p∈Ω I 诱导出单射X (Q) → Y X (Qp ) p∈Ω Question Q 如果 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅（即∀p ∈ Ω, X (Qp ) 6= ∅），是否 有X (Q) 6= ∅? 方程在每个局部有解，是否就在整体有解？ I 如果答案肯定，我们称有局部整体原则 梁 永祺 数论中的局部与整体 29 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部-整体 I 应该关注所有局部 Q → Y Qp ; a 7→ (a, a, . . .) p∈Ω I 诱导出单射X (Q) → Y X (Qp ) p∈Ω Question Q 如果 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅（即∀p ∈ Ω, X (Qp ) 6= ∅），是否 有X (Q) 6= ∅? 方程在每个局部有解，是否就在整体有解？ I 如果答案肯定，我们称有局部整体原则 梁 永祺 数论中的局部与整体 29 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部-整体 I 应该关注所有局部 Q → Y Qp ; a 7→ (a, a, . . .) p∈Ω I 诱导出单射X (Q) → Y X (Qp ) p∈Ω Question Q 如果 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅（即∀p ∈ Ω, X (Qp ) 6= ∅），是否 有X (Q) 6= ∅? 方程在每个局部有解，是否就在整体有解？ I 如果答案肯定，我们称有局部整体原则 梁 永祺 数论中的局部与整体 29 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则 Theorem (Hasse) 如果代数簇X 是由一个二次型定义的，那么它满足局部整体原 则。即二次型t X MX = a有有理数解当且仅当它在所有Qp 中有 解，其中M ∈ Matn (Q)是n × n对称矩阵。 I Minkowski证明了这对一般数域也是成立的。 I 证明概要：用某种数学归纳法，归结为三元二次型Hilbert符 号的局部整体原则 I 考虑二次型P(x, y , z) = x 2 − ay 2 − bz 2 在Qp 中是否有（非 零）解，若有则记Hilbert符号(a, b)p = 1，否则−1。 I 上述定理就是说∀p ∈ Ω, (a, b)p = 1 ⇔ (a, b)Q = 1 Theorem Y (a, b)p = 1 （有限乘积，各个局部之间不是独立的！） p∈Ω 梁 永祺 数论中的局部与整体 30 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则 Theorem (Hasse) 如果代数簇X 是由一个二次型定义的，那么它满足局部整体原 则。即二次型t X MX = a有有理数解当且仅当它在所有Qp 中有 解，其中M ∈ Matn (Q)是n × n对称矩阵。 I Minkowski证明了这对一般数域也是成立的。 I 证明概要：用某种数学归纳法，归结为三元二次型Hilbert符 号的局部整体原则 I 考虑二次型P(x, y , z) = x 2 − ay 2 − bz 2 在Qp 中是否有（非 零）解，若有则记Hilbert符号(a, b)p = 1，否则−1。 I 上述定理就是说∀p ∈ Ω, (a, b)p = 1 ⇔ (a, b)Q = 1 Theorem Y (a, b)p = 1 （有限乘积，各个局部之间不是独立的！） p∈Ω 梁 永祺 数论中的局部与整体 30 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则 Theorem (Hasse) 如果代数簇X 是由一个二次型定义的，那么它满足局部整体原 则。即二次型t X MX = a有有理数解当且仅当它在所有Qp 中有 解，其中M ∈ Matn (Q)是n × n对称矩阵。 I Minkowski证明了这对一般数域也是成立的。 I 证明概要：用某种数学归纳法，归结为三元二次型Hilbert符 号的局部整体原则 I 考虑二次型P(x, y , z) = x 2 − ay 2 − bz 2 在Qp 中是否有（非 零）解，若有则记Hilbert符号(a, b)p = 1，否则−1。 I 上述定理就是说∀p ∈ Ω, (a, b)p = 1 ⇔ (a, b)Q = 1 Theorem Y (a, b)p = 1 （有限乘积，各个局部之间不是独立的！） p∈Ω 梁 永祺 数论中的局部与整体 30 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则 Theorem (Hasse) 如果代数簇X 是由一个二次型定义的，那么它满足局部整体原 则。即二次型t X MX = a有有理数解当且仅当它在所有Qp 中有 解，其中M ∈ Matn (Q)是n × n对称矩阵。 I Minkowski证明了这对一般数域也是成立的。 I 证明概要：用某种数学归纳法，归结为三元二次型Hilbert符 号的局部整体原则 I 考虑二次型P(x, y , z) = x 2 − ay 2 − bz 2 在Qp 中是否有（非 零）解，若有则记Hilbert符号(a, b)p = 1，否则−1。 I 上述定理就是说∀p ∈ Ω, (a, b)p = 1 ⇔ (a, b)Q = 1 Theorem Y (a, b)p = 1 （有限乘积，各个局部之间不是独立的！） p∈Ω 梁 永祺 数论中的局部与整体 30 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则 Theorem (Hasse) 如果代数簇X 是由一个二次型定义的，那么它满足局部整体原 则。即二次型t X MX = a有有理数解当且仅当它在所有Qp 中有 解，其中M ∈ Matn (Q)是n × n对称矩阵。 I Minkowski证明了这对一般数域也是成立的。 I 证明概要：用某种数学归纳法，归结为三元二次型Hilbert符 号的局部整体原则 I 考虑二次型P(x, y , z) = x 2 − ay 2 − bz 2 在Qp 中是否有（非 零）解，若有则记Hilbert符号(a, b)p = 1，否则−1。 I 上述定理就是说∀p ∈ Ω, (a, b)p = 1 ⇔ (a, b)Q = 1 Theorem Y (a, b)p = 1 （有限乘积，各个局部之间不是独立的！） p∈Ω 梁 永祺 数论中的局部与整体 30 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效 I 一个局部整体原则失效的简单例子： I X : P(x) = (x 2 − 13)(x 2 − 17)(x 2 − 13 × 17) I 明显：在Q中它无解，在R中有解 I 22 ≡ 17 mod 13即X (F13 ) 6= ∅从而由Hensel引理知 道X (Q13 ) 6= ∅ I 对p = 17，由82 ≡ 13 mod 17同理可得X (Q17 ) 6= ∅ 17 13·17 = ，这三 I 最后对p 6= 13, 17，观察到 13 p p p 个Legendre符号至少有一个必须是1，因此X (Fp ) 6= ∅以 及X (Qp ) 6= ∅。（对于p = 2, mod 2不光滑，需要考虑更精 细的Hensel引理，考虑 mod 8） I 问题：为什么局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 31 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效 I 一个局部整体原则失效的简单例子： I X : P(x) = (x 2 − 13)(x 2 − 17)(x 2 − 13 × 17) I 明显：在Q中它无解，在R中有解 I 22 ≡ 17 mod 13即X (F13 ) 6= ∅从而由Hensel引理知 道X (Q13 ) 6= ∅ I 对p = 17，由82 ≡ 13 mod 17同理可得X (Q17 ) 6= ∅ 17 13·17 I 最后对p 6= 13, 17，观察到 13 = ，这三 p p p 个Legendre符号至少有一个必须是1，因此X (Fp ) 6= ∅以 及X (Qp ) 6= ∅。（对于p = 2, mod 2不光滑，需要考虑更精 细的Hensel引理，考虑 mod 8） I 问题：为什么局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 31 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效 I 一个局部整体原则失效的简单例子： I X : P(x) = (x 2 − 13)(x 2 − 17)(x 2 − 13 × 17) I 明显：在Q中它无解，在R中有解 I 22 ≡ 17 mod 13即X (F13 ) 6= ∅从而由Hensel引理知 道X (Q13 ) 6= ∅ I 对p = 17，由82 ≡ 13 mod 17同理可得X (Q17 ) 6= ∅ 17 13·17 I 最后对p 6= 13, 17，观察到 13 = ，这三 p p p 个Legendre符号至少有一个必须是1，因此X (Fp ) 6= ∅以 及X (Qp ) 6= ∅。（对于p = 2, mod 2不光滑，需要考虑更精 细的Hensel引理，考虑 mod 8） I 问题：为什么局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 31 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效 I 一个局部整体原则失效的简单例子： I X : P(x) = (x 2 − 13)(x 2 − 17)(x 2 − 13 × 17) I 明显：在Q中它无解，在R中有解 I 22 ≡ 17 mod 13即X (F13 ) 6= ∅从而由Hensel引理知 道X (Q13 ) 6= ∅ I 对p = 17，由82 ≡ 13 mod 17同理可得X (Q17 ) 6= ∅ 17 13·17 I 最后对p 6= 13, 17，观察到 13 = ，这三 p p p 个Legendre符号至少有一个必须是1，因此X (Fp ) 6= ∅以 及X (Qp ) 6= ∅。（对于p = 2, mod 2不光滑，需要考虑更精 细的Hensel引理，考虑 mod 8） I 问题：为什么局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 31 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效 I 一个局部整体原则失效的简单例子： I X : P(x) = (x 2 − 13)(x 2 − 17)(x 2 − 13 × 17) I 明显：在Q中它无解，在R中有解 I 22 ≡ 17 mod 13即X (F13 ) 6= ∅从而由Hensel引理知 道X (Q13 ) 6= ∅ I 对p = 17，由82 ≡ 13 mod 17同理可得X (Q17 ) 6= ∅ 17 13·17 = ，这三 I 最后对p 6= 13, 17，观察到 13 p p p 个Legendre符号至少有一个必须是1，因此X (Fp ) 6= ∅以 及X (Qp ) 6= ∅。（对于p = 2, mod 2不光滑，需要考虑更精 细的Hensel引理，考虑 mod 8） I 问题：为什么局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 31 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效 I 一个局部整体原则失效的简单例子： I X : P(x) = (x 2 − 13)(x 2 − 17)(x 2 − 13 × 17) I 明显：在Q中它无解，在R中有解 I 22 ≡ 17 mod 13即X (F13 ) 6= ∅从而由Hensel引理知 道X (Q13 ) 6= ∅ I 对p = 17，由82 ≡ 13 mod 17同理可得X (Q17 ) 6= ∅ 17 13·17 = ，这三 I 最后对p 6= 13, 17，观察到 13 p p p 个Legendre符号至少有一个必须是1，因此X (Fp ) 6= ∅以 及X (Qp ) 6= ∅。（对于p = 2, mod 2不光滑，需要考虑更精 细的Hensel引理，考虑 mod 8） I 问题：为什么局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 31 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效 I 一个局部整体原则失效的简单例子： I X : P(x) = (x 2 − 13)(x 2 − 17)(x 2 − 13 × 17) I 明显：在Q中它无解，在R中有解 I 22 ≡ 17 mod 13即X (F13 ) 6= ∅从而由Hensel引理知 道X (Q13 ) 6= ∅ I 对p = 17，由82 ≡ 13 mod 17同理可得X (Q17 ) 6= ∅ 17 13·17 = ，这三 I 最后对p 6= 13, 17，观察到 13 p p p 个Legendre符号至少有一个必须是1，因此X (Fp ) 6= ∅以 及X (Qp ) 6= ∅。（对于p = 2, mod 2不光滑，需要考虑更精 细的Hensel引理，考虑 mod 8） I 问题：为什么局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 31 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？ I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q X(E , Q) = Ker H1 (Q, E ) → p∈Ω H1 (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？ I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q X(E , Q) = Ker H1 (Q, E ) → p∈Ω H1 (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？ I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q X(E , Q) = Ker H1 (Q, E ) → p∈Ω H1 (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？ I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q X(E , Q) = Ker H1 (Q, E ) → p∈Ω H1 (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？答：上同调理 论。 I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q 1 1 X(E , Q) = Ker H (Q, E ) → p∈Ω H (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？答：上同调理 论。 I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q 1 1 X(E , Q) = Ker H (Q, E ) → p∈Ω H (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？答：上同调理 论。 I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q 1 1 X(E , Q) = Ker H (Q, E ) → p∈Ω H (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？答：上同调理 论。 I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q 1 1 X(E , Q) = Ker H (Q, E ) → p∈Ω H (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？答：上同调理 论。 I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q 1 1 X(E , Q) = Ker H (Q, E ) → p∈Ω H (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 局部整体原则的失效又一例 I 一旦把2次换成3次就不对了！ I 最著名的例子： Selmer：C : P(x, y , z) = 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0在Qp 中均有 （非零）解，但在Q中没有解。 I 回顾：这是一条亏格为1的曲线，它不是一条椭圆曲线（它 没有有理点） I 问题：怎么去衡量局部整体原则失效的程度？答：上同调理 论。 I C 的Jacobian：E = Jac(C )是一条椭圆曲线 I Tate-Shafarevich群 h i Q 1 1 X(E , Q) = Ker H (Q, E ) → p∈Ω H (Qp , E ) I BSD猜想的一部分：它是一个有限群（就是局部整体原则失 效得并不严重）曲线被看作一个上同调类[C ] ∈ X(E , Q) I 问题：如何解释局部整体原则失效？ 答：上同调理论。 梁 永祺 数论中的局部与整体 32 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：如何看待方程的解 I Grothendieck创造的现代代数几何语言有强大的功能： I 定义了“概型”：一个同时包含几何信息与算术信息的对象 I 一个极端：代数几何；另一个极端：数论。 I 研究算术代数几何的最佳语言。例：Galois群是某种意义的 拓扑基本群 [SGA1] I “多项式方程的解”在这套语言里翻译成“概型之间的映 射” I 多项式方程 = 概型（代数簇）X I 数域K = 概型Spec(K ) I 多项式方程在K 中的解 = 映射 x : Spec(K ) → X I 有理点的集合X (K ) = Hom(Spec(K ), X ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 33 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：étale上同调群，Brauer群 I étale上同调群：Grothendieck的另一大发明 I 代数簇上的Zariski拓扑太粗糙，用它构造上同调无法保留充 分多的几何信息 I 为了模拟实/复拓扑，需要更广义的“Grothendieck拓扑”— —例如“étale拓扑”，从此出发构造的上同调模拟了复流形 的经典的上同调。这种上同调同时可以用于处理算术问题。 I Brauer群：Br(X ) = H2ét (X , Gm ) I 概型之间的态射X → Y 自然诱导同调群间的同 态Br(Y ) → Br(X ) I 特别的，对有理点x ∈ X (K )即x : Spec(K ) → X 诱导“取值映射”x ∗ : Br(X ) → Br(Spec(K )) = Br(K ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 34 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：étale上同调群，Brauer群 I étale上同调群：Grothendieck的另一大发明 I 代数簇上的Zariski拓扑太粗糙，用它构造上同调无法保留充 分多的几何信息 I 为了模拟实/复拓扑，需要更广义的“Grothendieck拓扑”— —例如“étale拓扑”，从此出发构造的上同调模拟了复流形 的经典的上同调。这种上同调同时可以用于处理算术问题。 I Brauer群：Br(X ) = H2ét (X , Gm ) I 概型之间的态射X → Y 自然诱导同调群间的同 态Br(Y ) → Br(X ) I 特别的，对有理点x ∈ X (K )即x : Spec(K ) → X 诱导“取值映射”x ∗ : Br(X ) → Br(Spec(K )) = Br(K ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 34 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：étale上同调群，Brauer群 I étale上同调群：Grothendieck的另一大发明 I 代数簇上的Zariski拓扑太粗糙，用它构造上同调无法保留充 分多的几何信息 I 为了模拟实/复拓扑，需要更广义的“Grothendieck拓扑”— —例如“étale拓扑”，从此出发构造的上同调模拟了复流形 的经典的上同调。这种上同调同时可以用于处理算术问题。 I Brauer群：Br(X ) = H2ét (X , Gm ) I 概型之间的态射X → Y 自然诱导同调群间的同 态Br(Y ) → Br(X ) I 特别的，对有理点x ∈ X (K )即x : Spec(K ) → X 诱导“取值映射”x ∗ : Br(X ) → Br(Spec(K )) = Br(K ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 34 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：étale上同调群，Brauer群 I étale上同调群：Grothendieck的另一大发明 I 代数簇上的Zariski拓扑太粗糙，用它构造上同调无法保留充 分多的几何信息 I 为了模拟实/复拓扑，需要更广义的“Grothendieck拓扑”— —例如“étale拓扑”，从此出发构造的上同调模拟了复流形 的经典的上同调。这种上同调同时可以用于处理算术问题。 I Brauer群：Br(X ) = H2ét (X , Gm ) I 概型之间的态射X → Y 自然诱导同调群间的同 态Br(Y ) → Br(X ) I 特别的，对有理点x ∈ X (K )即x : Spec(K ) → X 诱导“取值映射”x ∗ : Br(X ) → Br(Spec(K )) = Br(K ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 34 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：étale上同调群，Brauer群 I étale上同调群：Grothendieck的另一大发明 I 代数簇上的Zariski拓扑太粗糙，用它构造上同调无法保留充 分多的几何信息 I 为了模拟实/复拓扑，需要更广义的“Grothendieck拓扑”— —例如“étale拓扑”，从此出发构造的上同调模拟了复流形 的经典的上同调。这种上同调同时可以用于处理算术问题。 I Brauer群：Br(X ) = H2ét (X , Gm ) I 概型之间的态射X → Y 自然诱导同调群间的同 态Br(Y ) → Br(X ) I 特别的，对有理点x ∈ X (K )即x : Spec(K ) → X 诱导“取值映射”x ∗ : Br(X ) → Br(Spec(K )) = Br(K ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 34 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Grothendieck的代数几何语言：étale上同调群，Brauer群 I étale上同调群：Grothendieck的另一大发明 I 代数簇上的Zariski拓扑太粗糙，用它构造上同调无法保留充 分多的几何信息 I 为了模拟实/复拓扑，需要更广义的“Grothendieck拓扑”— —例如“étale拓扑”，从此出发构造的上同调模拟了复流形 的经典的上同调。这种上同调同时可以用于处理算术问题。 I Brauer群：Br(X ) = H2ét (X , Gm ) I 概型之间的态射X → Y 自然诱导同调群间的同 态Br(Y ) → Br(X ) I 特别的，对有理点x ∈ X (K )即x : Spec(K ) → X 诱导“取值映射”x ∗ : Br(X ) → Br(Spec(K )) = Br(K ) 梁 永祺 数论中的局部与整体 34 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Manin配对 I 当X 是一个域时Brauer群有一个（通过中心单代数的）相对 简单的描述 I 代数数论的局部类域论： ' I invp : Br(Qp ) = Br(Spec(Qp )) − → Q/Z ' 1 I inv∞ : Br(R) − → Z/2Z ' 2 Z/Z ⊂ Q/Z Q I 若有一族局部有理点(xp )p∈Ω ∈ p∈Ω X (Qp )以 及b ∈ Br(X )则有 invp (xp∗ (b)) ∈ Q/Z I （ICM 1970）Manin定义了一个配对（X是射影代数簇） Q I Br(X ) × p∈Ω X P(Qp ) → Q/Z I (b, (xp )p∈Ω ) 7→ p∈Ω invp (xp∗ (b)) P invp I 整体类域论：0 → Br(Q) → v ∈Ω Br(Qp ) −−−−→ Q/Z → 0 =⇒ 整体点在上述配对中给出0。 L 梁 永祺 数论中的局部与整体 35 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Manin配对 I 当X 是一个域时Brauer群有一个（通过中心单代数的）相对 简单的描述 I 代数数论的局部类域论： ' I invp : Br(Qp ) = Br(Spec(Qp )) − → Q/Z ' 1 I inv∞ : Br(R) − → Z/2Z ' 2 Z/Z ⊂ Q/Z Q I 若有一族局部有理点(xp )p∈Ω ∈ p∈Ω X (Qp )以 及b ∈ Br(X )则有 invp (xp∗ (b)) ∈ Q/Z I （ICM 1970）Manin定义了一个配对（X是射影代数簇） Q I Br(X ) × p∈Ω X P(Qp ) → Q/Z I (b, (xp )p∈Ω ) 7→ p∈Ω invp (xp∗ (b)) P invp I 整体类域论：0 → Br(Q) → v ∈Ω Br(Qp ) −−−−→ Q/Z → 0 =⇒ 整体点在上述配对中给出0。 L 梁 永祺 数论中的局部与整体 35 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Manin配对 I 当X 是一个域时Brauer群有一个（通过中心单代数的）相对 简单的描述 I 代数数论的局部类域论： ' I invp : Br(Qp ) = Br(Spec(Qp )) − → Q/Z ' 1 I inv∞ : Br(R) − → Z/2Z ' 2 Z/Z ⊂ Q/Z Q I 若有一族局部有理点(xp )p∈Ω ∈ p∈Ω X (Qp )以 及b ∈ Br(X )则有 invp (xp∗ (b)) ∈ Q/Z I （ICM 1970）Manin定义了一个配对（X是射影代数簇） Q I Br(X ) × p∈Ω X P(Qp ) → Q/Z I (b, (xp )p∈Ω ) 7→ p∈Ω invp (xp∗ (b)) P invp I 整体类域论：0 → Br(Q) → v ∈Ω Br(Qp ) −−−−→ Q/Z → 0 =⇒ 整体点在上述配对中给出0。 L 梁 永祺 数论中的局部与整体 35 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Manin配对 I 当X 是一个域时Brauer群有一个（通过中心单代数的）相对 简单的描述 I 代数数论的局部类域论： ' I invp : Br(Qp ) = Br(Spec(Qp )) − → Q/Z ' 1 I inv∞ : Br(R) − → Z/2Z ' 2 Z/Z ⊂ Q/Z Q I 若有一族局部有理点(xp )p∈Ω ∈ p∈Ω X (Qp )以 及b ∈ Br(X )则有 invp (xp∗ (b)) ∈ Q/Z I （ICM 1970）Manin定义了一个配对（X是射影代数簇） Q I Br(X ) × p∈Ω X P(Qp ) → Q/Z I (b, (xp )p∈Ω ) 7→ p∈Ω invp (xp∗ (b)) P invp I 整体类域论：0 → Br(Q) → v ∈Ω Br(Qp ) −−−−→ Q/Z → 0 =⇒ 整体点在上述配对中给出0。 L 梁 永祺 数论中的局部与整体 35 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Manin配对 I 当X 是一个域时Brauer群有一个（通过中心单代数的）相对 简单的描述 I 代数数论的局部类域论： ' I invp : Br(Qp ) = Br(Spec(Qp )) − → Q/Z ' 1 I inv∞ : Br(R) − → Z/2Z ' 2 Z/Z ⊂ Q/Z Q I 若有一族局部有理点(xp )p∈Ω ∈ p∈Ω X (Qp )以 及b ∈ Br(X )则有 invp (xp∗ (b)) ∈ Q/Z I （ICM 1970）Manin定义了一个配对（X是射影代数簇） Q I Br(X ) × p∈Ω X P(Qp ) → Q/Z I (b, (xp )p∈Ω ) 7→ p∈Ω invp (xp∗ (b)) P invp I 整体类域论：0 → Br(Q) → v ∈Ω Br(Qp ) −−−−→ Q/Z → 0 =⇒ 整体点在上述配对中给出0。 L 梁 永祺 数论中的局部与整体 35 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍 Q Q I [ p X (Qp )]Br = {(xp ) ∈ p X (Qp ) | (xp ) ⊥ b, ∀b ∈ Br(X )} I Y Y X (Q) ⊂ [ X (Qp )]Br ⊂ X (Qp ) p∈Ω p∈Ω Q I 即使所有局部都有解 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅，但是 Q 若[ p X (Qp )]Br = ∅ 那么就没有整体有理点。 I 这称为 Brauer-Manin障碍 I 这足以解释当时几乎所有已知的局部整体原则失效的例子！ Q I 问题：[ p X (Qp )]Br 6= ∅ =⇒ X (Q) 6= ∅ ？？ I 称：对于局部整体原则Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。 I 成立的例子：亏格1的曲线（要求某X群有限），线性代数 群的某些齐次空间，Châtelet曲面 （y 2 − az 2 = P(x)，P为4次多项式）…… 梁 永祺 数论中的局部与整体 36 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍 Q Q I [ p X (Qp )]Br = {(xp ) ∈ p X (Qp ) | (xp ) ⊥ b, ∀b ∈ Br(X )} I Y Y X (Q) ⊂ [ X (Qp )]Br ⊂ X (Qp ) p∈Ω p∈Ω Q I 即使所有局部都有解 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅，但是 Q 若[ p X (Qp )]Br = ∅ 那么就没有整体有理点。 I 这称为 Brauer-Manin障碍 I 这足以解释当时几乎所有已知的局部整体原则失效的例子！ Q I 问题：[ p X (Qp )]Br 6= ∅ =⇒ X (Q) 6= ∅ ？？ I 称：对于局部整体原则Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。 I 成立的例子：亏格1的曲线（要求某X群有限），线性代数 群的某些齐次空间，Châtelet曲面 （y 2 − az 2 = P(x)，P为4次多项式）…… 梁 永祺 数论中的局部与整体 36 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍 Q Q I [ p X (Qp )]Br = {(xp ) ∈ p X (Qp ) | (xp ) ⊥ b, ∀b ∈ Br(X )} I Y Y X (Q) ⊂ [ X (Qp )]Br ⊂ X (Qp ) p∈Ω p∈Ω Q I 即使所有局部都有解 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅，但是 Q 若[ p X (Qp )]Br = ∅ 那么就没有整体有理点。 I 这称为 Brauer-Manin障碍 I 这足以解释当时几乎所有已知的局部整体原则失效的例子！ Q I 问题：[ p X (Qp )]Br 6= ∅ =⇒ X (Q) 6= ∅ ？？ I 称：对于局部整体原则Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。 I 成立的例子：亏格1的曲线（要求某X群有限），线性代数 群的某些齐次空间，Châtelet曲面 （y 2 − az 2 = P(x)，P为4次多项式）…… 梁 永祺 数论中的局部与整体 36 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍 Q Q I [ p X (Qp )]Br = {(xp ) ∈ p X (Qp ) | (xp ) ⊥ b, ∀b ∈ Br(X )} I Y Y X (Q) ⊂ [ X (Qp )]Br ⊂ X (Qp ) p∈Ω p∈Ω Q I 即使所有局部都有解 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅，但是 Q 若[ p X (Qp )]Br = ∅ 那么就没有整体有理点。 I 这称为 Brauer-Manin障碍 I 这足以解释当时几乎所有已知的局部整体原则失效的例子！ Q I 问题：[ p X (Qp )]Br 6= ∅ =⇒ X (Q) 6= ∅ ？？ I 称：对于局部整体原则Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。 I 成立的例子：亏格1的曲线（要求某X群有限），线性代数 群的某些齐次空间，Châtelet曲面 （y 2 − az 2 = P(x)，P为4次多项式）…… 梁 永祺 数论中的局部与整体 36 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍 Q Q I [ p X (Qp )]Br = {(xp ) ∈ p X (Qp ) | (xp ) ⊥ b, ∀b ∈ Br(X )} I Y Y X (Q) ⊂ [ X (Qp )]Br ⊂ X (Qp ) p∈Ω p∈Ω Q I 即使所有局部都有解 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅，但是 Q 若[ p X (Qp )]Br = ∅ 那么就没有整体有理点。 I 这称为 Brauer-Manin障碍 I 这足以解释当时几乎所有已知的局部整体原则失效的例子！ Q I 问题：[ p X (Qp )]Br 6= ∅ =⇒ X (Q) 6= ∅ ？？ I 称：对于局部整体原则Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。 I 成立的例子：亏格1的曲线（要求某X群有限），线性代数 群的某些齐次空间，Châtelet曲面 （y 2 − az 2 = P(x)，P为4次多项式）…… 梁 永祺 数论中的局部与整体 36 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍 Q Q I [ p X (Qp )]Br = {(xp ) ∈ p X (Qp ) | (xp ) ⊥ b, ∀b ∈ Br(X )} I Y Y X (Q) ⊂ [ X (Qp )]Br ⊂ X (Qp ) p∈Ω p∈Ω Q I 即使所有局部都有解 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅，但是 Q 若[ p X (Qp )]Br = ∅ 那么就没有整体有理点。 I 这称为 Brauer-Manin障碍 I 这足以解释当时几乎所有已知的局部整体原则失效的例子！ Q I 问题：[ p X (Qp )]Br 6= ∅ =⇒ X (Q) 6= ∅ ？？ I 称：对于局部整体原则Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。 I 成立的例子：亏格1的曲线（要求某X群有限），线性代数 群的某些齐次空间，Châtelet曲面 （y 2 − az 2 = P(x)，P为4次多项式）…… 梁 永祺 数论中的局部与整体 36 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍 Q Q I [ p X (Qp )]Br = {(xp ) ∈ p X (Qp ) | (xp ) ⊥ b, ∀b ∈ Br(X )} I Y Y X (Q) ⊂ [ X (Qp )]Br ⊂ X (Qp ) p∈Ω p∈Ω Q I 即使所有局部都有解 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅，但是 Q 若[ p X (Qp )]Br = ∅ 那么就没有整体有理点。 I 这称为 Brauer-Manin障碍 I 这足以解释当时几乎所有已知的局部整体原则失效的例子！ Q I 问题：[ p X (Qp )]Br 6= ∅ =⇒ X (Q) 6= ∅ ？？ I 称：对于局部整体原则Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。 I 成立的例子：亏格1的曲线（要求某X群有限），线性代数 群的某些齐次空间，Châtelet曲面 （y 2 − az 2 = P(x)，P为4次多项式）…… 梁 永祺 数论中的局部与整体 36 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍 Q Q I [ p X (Qp )]Br = {(xp ) ∈ p X (Qp ) | (xp ) ⊥ b, ∀b ∈ Br(X )} I Y Y X (Q) ⊂ [ X (Qp )]Br ⊂ X (Qp ) p∈Ω p∈Ω Q I 即使所有局部都有解 p∈Ω X (Qp ) 6= ∅，但是 Q 若[ p X (Qp )]Br = ∅ 那么就没有整体有理点。 I 这称为 Brauer-Manin障碍 I 这足以解释当时几乎所有已知的局部整体原则失效的例子！ Q I 问题：[ p X (Qp )]Br 6= ∅ =⇒ X (Q) 6= ∅ ？？ I 称：对于局部整体原则Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。 I 成立的例子：亏格1的曲线（要求某X群有限），线性代数 群的某些齐次空间，Châtelet曲面 （y 2 − az 2 = P(x)，P为4次多项式）…… 梁 永祺 数论中的局部与整体 36 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍的不足 Brauer-Manin障碍不足以解释局部整体原则的失效 Q Q (∅ =)X (Q) ⊂ [ p∈Ω X (Qp )]Br (6= ∅) ⊂ p∈Ω X (Qp ) I 例子： I Skorobogatov（1999）：bielliptic surface I Poonen（2010）：Châtelet surface bundle over a high genus curve I 维数> 1，不是有理连通簇 梁 永祺 数论中的局部与整体 37 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍的不足 Brauer-Manin障碍不足以解释局部整体原则的失效 Q Q (∅ =)X (Q) ⊂ [ p∈Ω X (Qp )]Br (6= ∅) ⊂ p∈Ω X (Qp ) I 例子： I Skorobogatov（1999）：bielliptic surface I Poonen（2010）：Châtelet surface bundle over a high genus curve I 维数> 1，不是有理连通簇 梁 永祺 数论中的局部与整体 37 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction Brauer-Manin障碍的不足 Brauer-Manin障碍不足以解释局部整体原则的失效 Q Q (∅ =)X (Q) ⊂ [ p∈Ω X (Qp )]Br (6= ∅) ⊂ p∈Ω X (Qp ) I 例子： I Skorobogatov（1999）：bielliptic surface I Poonen（2010）：Châtelet surface bundle over a high genus curve I 维数> 1，不是有理连通簇 梁 永祺 数论中的局部与整体 37 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 有理连通代数簇 I 令X 为一个C上射影代数簇 Definition 称X 是一个有理连通簇，若对X 上任意两点P和Q，都存在一个 定义在C上的代数映射f : P1 → X 使得f (0) = P及f (1) = Q。 I 这里“代数映射”是指代数簇之间的态射，即可由多项式定 义的映射。 I 即任两点可以用一条有理曲线连起来 I 这个要求比拓扑里的“道路连通”要强很多（要求f 是代数 的映射） I 有理连通 =⇒ “单连通” I 这是一个纯粹几何的概念（全是定义在C上的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 38 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 有理连通代数簇 I 令X 为一个C上射影代数簇 Definition 称X 是一个有理连通簇，若对X 上任意两点P和Q，都存在一个 定义在C上的代数映射f : P1 → X 使得f (0) = P及f (1) = Q。 I 这里“代数映射”是指代数簇之间的态射，即可由多项式定 义的映射。 I 即任两点可以用一条有理曲线连起来 I 这个要求比拓扑里的“道路连通”要强很多（要求f 是代数 的映射） I 有理连通 =⇒ “单连通” I 这是一个纯粹几何的概念（全是定义在C上的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 38 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 有理连通代数簇 I 令X 为一个C上射影代数簇 Definition 称X 是一个有理连通簇，若对X 上任意两点P和Q，都存在一个 定义在C上的代数映射f : P1 → X 使得f (0) = P及f (1) = Q。 I 这里“代数映射”是指代数簇之间的态射，即可由多项式定 义的映射。 I 即任两点可以用一条有理曲线连起来 I 这个要求比拓扑里的“道路连通”要强很多（要求f 是代数 的映射） I 有理连通 =⇒ “单连通” I 这是一个纯粹几何的概念（全是定义在C上的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 38 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 有理连通代数簇 I 令X 为一个C上射影代数簇 Definition 称X 是一个有理连通簇，若对X 上任意两点P和Q，都存在一个 定义在C上的代数映射f : P1 → X 使得f (0) = P及f (1) = Q。 I 这里“代数映射”是指代数簇之间的态射，即可由多项式定 义的映射。 I 即任两点可以用一条有理曲线连起来 I 这个要求比拓扑里的“道路连通”要强很多（要求f 是代数 的映射） I 有理连通 =⇒ “单连通” I 这是一个纯粹几何的概念（全是定义在C上的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 38 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 有理连通代数簇 I 令X 为一个C上射影代数簇 Definition 称X 是一个有理连通簇，若对X 上任意两点P和Q，都存在一个 定义在C上的代数映射f : P1 → X 使得f (0) = P及f (1) = Q。 I 这里“代数映射”是指代数簇之间的态射，即可由多项式定 义的映射。 I 即任两点可以用一条有理曲线连起来 I 这个要求比拓扑里的“道路连通”要强很多（要求f 是代数 的映射） I 有理连通 =⇒ “单连通” I 这是一个纯粹几何的概念（全是定义在C上的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 38 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 有理连通代数簇 I 令X 为一个C上射影代数簇 Definition 称X 是一个有理连通簇，若对X 上任意两点P和Q，都存在一个 定义在C上的代数映射f : P1 → X 使得f (0) = P及f (1) = Q。 I 这里“代数映射”是指代数簇之间的态射，即可由多项式定 义的映射。 I 即任两点可以用一条有理曲线连起来 I 这个要求比拓扑里的“道路连通”要强很多（要求f 是代数 的映射） I 有理连通 =⇒ “单连通” I 这是一个纯粹几何的概念（全是定义在C上的） 梁 永祺 数论中的局部与整体 38 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 几何决定算术 Conjecture (Colliot-Thélène–Sansuc) 对于光滑有理连通代数簇，Brauer-Manin障碍是局部整体原则的 唯一障碍。 Conjecture (Skorobogatov) 对于光滑射影曲线，Brauer-Manin障碍是局部整体原则的唯一障 碍。 I 这两个猜想的哲学依然是 几何决定算术！ 梁 永祺 数论中的局部与整体 39 / 40 Introduction Global study Local world From local to global Local-global principle Brauer-Manin obstruction 结语 I 通过局部来研究整体。 I 几何决定算术。 梁 永祺 数论中的局部与整体 40 / 40