2009年高代考试大纲 2017年06月15日.doc

2009 年长沙理工大学数学专业硕士研究生入学统一考试 高等代数考试大纲 一、多项式 考试内容 一元多项式 整除的概念 因式分解 有理系数多项式 最大公因式 因式分解定理 重因式 复系数与实系数多项式的 考试要求 1、理解一元多项式、整除的概念，了解整除的性质。 2、理解最大公因式及互素的概念，掌握最大公因式求法。 3、了解因式分解定理，并会利用它求最大公因式。 4、掌握重因式概念，如何求重因式。 5、了解有理系数多项式的概念，掌握有理系数多项式有理根的求法及用 Eisenstein 判别法判别 有理数域上多项式的不可约性。 二、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式展开定理 考试要求 1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2、会应用行列式的性质和行列式展开定理计算行列式。 三、线性方程组 考试内容 别 向量的概念 向量组的线性相关与线性无关性 线性方程组有解的结构 向量组的秩 矩阵的秩 线性方程组有解的判 考试要求 1、理解 n 维向量的概念、向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、 线性无关的有关性质及判别法。 2、了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求微量组的极大线性无关组及秩。 3、了解向量组等价的概念、向量组的秩与矩阵秩的关系。 4、理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。 5、理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念、非齐次线性方程组解的结构及通解 的概念。 6、掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。 四、矩阵 考试内容 矩阵的概念 矩阵的运算 块乘法的初等变换 矩阵乘积的行列式与秩 矩阵的逆 矩阵的分块 初等矩阵 分 考试要求 1、理解矩阵的概念，了解一些特殊的矩阵及它们的性质。 2、掌握矩阵的运算及运算规律，了解矩阵乘积的行列式与秩。 3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的条件。 4、理解矩阵分块的意义，能利用分块矩阵简化矩阵的运算。 5、理解初等矩阵的概念，掌握初等矩阵与矩阵的初等变换的对应关系，掌握用初等变换求一 个可逆矩阵的逆矩阵方法。 6、掌握矩阵分块乘法的初等变换方法，能用该方法求矩阵行列式、逆矩阵等。 五、二次型 考试内容 二次型及其矩阵表示 标准形及规范形 正定二次型 考试要求 1、掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念， 了解惯性定理。 2、了解用配方法化二次型为标准形的方法，掌握用合同变换化二次型为标准形（或规范形） 的方法。 3、了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。 六、线性空间 考试内容 线性空间的定义及简单性质 交与和及直和 线性空间的同构 维数 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的 考试要求 1、理解线性空间的概念，掌握其性质。 2、了解 n 维线性空间、维数、基与坐标等概念。 3、掌握基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。 4、了解线性子空间概念及子空间的运算，掌握维数公式及子空间直和分解的条件。 5、理解线性空间同构的意义及基本性质。 七、线性变换 考试内容 线性变换的定义 线性变换的运算 线性变换的矩阵 变换的值域与核 不变子空间 若当标准形 特征值与特征向量 对角矩阵 线性 考试要求 1、了解线性变换的定义及线性变换的运算等概念。 2、理解线性变换的矩阵概念，掌握线性变换的运算与对应基下矩阵运算之间的关系，以及矩 阵相似等概念。 3、掌握特征值与特征向量概念，会求一个线性变换的特征值、特征向量。 4、掌握矩阵相似于对角形的条件，会求已给矩阵的相似标准形。 5、了解线性变换的值域与核的概念。 6、了解不变子空间概念，掌握不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。 八、λ-矩阵 考试内容 λ-矩阵 λ-矩阵在初等变换下的标准形 准形的理论推导 不变因子 矩阵相似的条件 初等因子 若当标 考试要求 1、了解λ-矩阵及λ-矩阵在初等变换下的标准形等概念，会求其标准形。 2、了解不变因子、初等因子等概念，会求一个λ-矩阵的不变因子及初等因子。 3、了解矩阵相似的条件，会求一个矩阵的若当标准形。 九、欧几里得空间 考试内容 定义与基本性质 标准正交基 同构 正交变换 子空间 对称矩阵的标准形 酉空间介绍 考试要求 1、了解欧氏空间的定义及基本性质。 2、理解标准正交基的意义，掌握从已知基本标准正交基的方法。 3、了解正交变换的意义，理解正交变换与正交矩阵之间的关系，掌握正交矩阵的一些基本性 质。 4、理解欧氏空间中子空间正交的概念及空间的正交分解。 5、理解对称矩阵与对称变换的关系、对称矩阵的性质，会求对称矩阵在正交合同意义下的标 准形，用正交的线性替换化实二次型为标准形。 6、了解酉空间的基本概念。