某些Chatelet曲面丛的算术研究.pdf
某些Chatelet曲面丛的算术研究.pdf
某些Châtelet曲面丛的算术研究 梁 永祺 中国科学技术大学 金坛数论学术会议(第八届全国数论会议) 2021年6月30日 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 1 / 21 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 2 / 21 Châtelet曲面 Definition S= 称为Châtelet曲面。 I 本报告研究Châtelet曲面丛：一族这类曲面构成的全空间。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 3 / 21 Châtelet曲面 Definition S= 称为Châtelet曲面。 I 本报告研究Châtelet曲面丛：一族这类曲面构成的全空间。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 3 / 21 Châtelet曲面 I 这个射影曲面S的一个仿射开集S o 由以下具体的方程定义 I y 2 − az 2 = P(x)，其中坐标(x, y , z) ∈ A3 ， a ∈ K ∗ （基域），P(x) ∈ K [x]次数= 4. I 事实上，只要给定一个这样的仿射方程，可以通过粘贴还原 出射影模型S： I (x, y : z : u) ∈ (P1 \ {∞}) × P2 y 2 − az 2 = u 2 P(x) I (x 0 , y : z : u 0 ) ∈ (P1 \ {0}) × P2 y 2 − az 2 = u 02 P ∗ (x 0 ) I 其中P ∗ (x 0 ) = x 04 P(1/x 0 )为P(x)的互反（reciprocal）多项式 deg(P ∗ ) = 3或4 I 通过粘贴还原出S：x = 1/x 0 , 梁 永祺 中国科学技术大学 u = x 02 u 0 某些Châtelet曲面丛的算术研究 4 / 21 Châtelet曲面 I 这个射影曲面S的一个仿射开集S o 由以下具体的方程定义 I y 2 − az 2 = P(x)，其中坐标(x, y , z) ∈ A3 ， a ∈ K ∗ （基域），P(x) ∈ K [x]次数= 4. I 事实上，只要给定一个这样的仿射方程，可以通过粘贴还原 出射影模型S： I (x, y : z : u) ∈ (P1 \ {∞}) × P2 y 2 − az 2 = u 2 P(x) I (x 0 , y : z : u 0 ) ∈ (P1 \ {0}) × P2 y 2 − az 2 = u 02 P ∗ (x 0 ) I 其中P ∗ (x 0 ) = x 04 P(1/x 0 )为P(x)的互反（reciprocal）多项式 deg(P ∗ ) = 3或4 I 通过粘贴还原出S：x = 1/x 0 , 梁 永祺 中国科学技术大学 u = x 02 u 0 某些Châtelet曲面丛的算术研究 4 / 21 Châtelet曲面 I 这个射影曲面S的一个仿射开集S o 由以下具体的方程定义 I y 2 − az 2 = P(x)，其中坐标(x, y , z) ∈ A3 ， a ∈ K ∗ （基域），P(x) ∈ K [x]次数= 4. I 事实上，只要给定一个这样的仿射方程，可以通过粘贴还原 出射影模型S： I (x, y : z : u) ∈ (P1 \ {∞}) × P2 y 2 − az 2 = u 2 P(x) I (x 0 , y : z : u 0 ) ∈ (P1 \ {0}) × P2 y 2 − az 2 = u 02 P ∗ (x 0 ) I 其中P ∗ (x 0 ) = x 04 P(1/x 0 )为P(x)的互反（reciprocal）多项式 deg(P ∗ ) = 3或4 I 通过粘贴还原出S：x = 1/x 0 , 梁 永祺 中国科学技术大学 u = x 02 u 0 某些Châtelet曲面丛的算术研究 4 / 21 Châtelet曲面 I 这个射影曲面S的一个仿射开集S o 由以下具体的方程定义 I y 2 − az 2 = P(x)，其中坐标(x, y , z) ∈ A3 ， a ∈ K ∗ （基域），P(x) ∈ K [x]次数= 4. I 事实上，只要给定一个这样的仿射方程，可以通过粘贴还原 出射影模型S： I (x, y : z : u) ∈ (P1 \ {∞}) × P2 y 2 − az 2 = u 2 P(x) I (x 0 , y : z : u 0 ) ∈ (P1 \ {0}) × P2 y 2 − az 2 = u 02 P ∗ (x 0 ) I 其中P ∗ (x 0 ) = x 04 P(1/x 0 )为P(x)的互反（reciprocal）多项式 deg(P ∗ ) = 3或4 I 通过粘贴还原出S：x = 1/x 0 , 梁 永祺 中国科学技术大学 u = x 02 u 0 某些Châtelet曲面丛的算术研究 4 / 21 Châtelet曲面 I 这个射影曲面S的一个仿射开集S o 由以下具体的方程定义 I y 2 − az 2 = P(x)，其中坐标(x, y , z) ∈ A3 ， a ∈ K ∗ （基域），P(x) ∈ K [x]次数= 4. I 事实上，只要给定一个这样的仿射方程，可以通过粘贴还原 出射影模型S： I (x, y : z : u) ∈ (P1 \ {∞}) × P2 y 2 − az 2 = u 2 P(x) I (x 0 , y : z : u 0 ) ∈ (P1 \ {0}) × P2 y 2 − az 2 = u 02 P ∗ (x 0 ) I 其中P ∗ (x 0 ) = x 04 P(1/x 0 )为P(x)的互反（reciprocal）多项式 deg(P ∗ ) = 3或4 I 通过粘贴还原出S：x = 1/x 0 , 梁 永祺 中国科学技术大学 u = x 02 u 0 某些Châtelet曲面丛的算术研究 4 / 21 Châtelet曲面的几何 I 简记 S : y 2 − az 2 = P(x) I S光滑⇐⇒P是可分多项式（此时P ∗ 自动可分） I 如果a ∈ K ∗2 ，则S双有理等价于P2 。 I 向x坐标投影：S → P1 是一个圆锥曲线丛，有4根几何纤维 是不光滑的（对应多项式的4个零点）。 I 全国数论会议：算术性质如何？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 5 / 21 Châtelet曲面的几何 I 简记 S : y 2 − az 2 = P(x) I S光滑⇐⇒P是可分多项式（此时P ∗ 自动可分） I 如果a ∈ K ∗2 ，则S双有理等价于P2 。 I 向x坐标投影：S → P1 是一个圆锥曲线丛，有4根几何纤维 是不光滑的（对应多项式的4个零点）。 I 全国数论会议：算术性质如何？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 5 / 21 Châtelet曲面的几何 I 简记 S : y 2 − az 2 = P(x) I S光滑⇐⇒P是可分多项式（此时P ∗ 自动可分） I 如果a ∈ K ∗2 ，则S双有理等价于P2 。 I 向x坐标投影：S → P1 是一个圆锥曲线丛，有4根几何纤维 是不光滑的（对应多项式的4个零点）。 I 全国数论会议：算术性质如何？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 5 / 21 Châtelet曲面的几何 I 简记 S : y 2 − az 2 = P(x) I S光滑⇐⇒P是可分多项式（此时P ∗ 自动可分） I 如果a ∈ K ∗2 ，则S双有理等价于P2 。 I 向x坐标投影：S → P1 是一个圆锥曲线丛，有4根几何纤维 是不光滑的（对应多项式的4个零点）。 I 全国数论会议：算术性质如何？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 5 / 21 Châtelet曲面的几何 I 简记 S : y 2 − az 2 = P(x) I S光滑⇐⇒P是可分多项式（此时P ∗ 自动可分） I 如果a ∈ K ∗2 ，则S双有理等价于P2 。 I 向x坐标投影：S → P1 是一个圆锥曲线丛，有4根几何纤维 是不光滑的（对应多项式的4个零点）。 I 全国数论会议：算术性质如何？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 5 / 21 Châtelet曲面的几何 I 简记 S : y 2 − az 2 = P(x) I S光滑⇐⇒P是可分多项式（此时P ∗ 自动可分） I 如果a ∈ K ∗2 ，则S双有理等价于P2 。 I 向x坐标投影：S → P1 是一个圆锥曲线丛，有4根几何纤维 是不光滑的（对应多项式的4个零点）。 I 全国数论会议：算术性质如何？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 5 / 21 Châtelet曲面的算术性质 I 从现在起K 是数域 I Hasse–Minkowski：圆锥曲线满足局部整体原则 ∃K -有理点⇔ ∀v ∈ Ω ∃Kv -有理点 I 局部整体原则的反例：P1 上的圆锥曲线丛(Châtelet曲面) (Iskovskikh, 1971) S/Q : y 2 + z 2 = −(x 2 − 2)(x 2 − 3) （任何数域K 上的Châtelet曲面例子：Poonen，2008） Theorem (Colliot-Thélène–Sansuc–Swinnerton-Dyer, 1987) 数域上的Châtelet曲面上有理点的局部整体原则和弱逼近性质 由Brauer群完全控制： S(K ) ⊂ S(K ) = S(AK )Br ⊂ S(AK ) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 6 / 21 Châtelet曲面的算术性质 I 从现在起K 是数域 I Hasse–Minkowski：圆锥曲线满足局部整体原则 ∃K -有理点⇔ ∀v ∈ Ω ∃Kv -有理点 I 局部整体原则的反例：P1 上的圆锥曲线丛(Châtelet曲面) (Iskovskikh, 1971) S/Q : y 2 + z 2 = −(x 2 − 2)(x 2 − 3) （任何数域K 上的Châtelet曲面例子：Poonen，2008） Theorem (Colliot-Thélène–Sansuc–Swinnerton-Dyer, 1987) 数域上的Châtelet曲面上有理点的局部整体原则和弱逼近性质 由Brauer群完全控制： S(K ) ⊂ S(K ) = S(AK )Br ⊂ S(AK ) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 6 / 21 Châtelet曲面的算术性质 I 从现在起K 是数域 I Hasse–Minkowski：圆锥曲线满足局部整体原则 ∃K -有理点⇔ ∀v ∈ Ω ∃Kv -有理点 I 局部整体原则的反例：P1 上的圆锥曲线丛(Châtelet曲面) (Iskovskikh, 1971) S/Q : y 2 + z 2 = −(x 2 − 2)(x 2 − 3) （任何数域K 上的Châtelet曲面例子：Poonen，2008） Theorem (Colliot-Thélène–Sansuc–Swinnerton-Dyer, 1987) 数域上的Châtelet曲面上有理点的局部整体原则和弱逼近性质 由Brauer群完全控制： S(K ) ⊂ S(K ) = S(AK )Br ⊂ S(AK ) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 6 / 21 五分钟学会Brauer–Manin障碍 X ：K -代数簇 X (K ) ⊂ X (K ) ⊂ 某闭子集 ⊂ X (AK ) 6= ∅ 1，对Hasse原则的障碍；2，对弱逼近性质的障碍（射影簇） I X (AK ) × Br(X ) → Q/Z (Brauer–Manin配对) X (xv ) , b 7→ h(xv ), biBM = invv (xv∗ (b)) v ∈Ω I 其中invv : Br(Kv ) → Q/Z是局部不变量（局部类域论） I xv∗ : Br(X ) → Br(Kv )由xv : Spec(Kv ) → X 诱导 M I 由0 → Br(K ) → Br(Kv ) → Q/Z → 0可知 v ∈Ω Br X (K ) ⊂ X (AK ) = {(xv )|∀b ∈ Br(X ) h(xv ), biBM = 0} 这是一个闭子集，是合适的候选对象 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 7 / 21 五分钟学会Brauer–Manin障碍 X ：K -代数簇 X (K ) ⊂ X (K ) ⊂ 某闭子集 ⊂ X (AK ) 6= ∅ 1，对Hasse原则的障碍；2，对弱逼近性质的障碍（射影簇） X (AK ) × Br(X ) → Q/Z (Brauer–Manin配对) X (xv ) , b 7→ h(xv ), biBM = invv (xv∗ (b)) v ∈Ω I 其中invv : Br(Kv ) → Q/Z是局部不变量（局部类域论） I xv∗ : Br(X ) → Br(Kv )由xv : Spec(Kv ) → X 诱导 M I 由0 → Br(K ) → Br(Kv ) → Q/Z → 0可知 v ∈Ω Br X (K ) ⊂ X (AK ) = {(xv )|∀b ∈ Br(X ) h(xv ), biBM = 0} 这是一个闭子集，是合适的候选对象 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 7 / 21 五分钟学会Brauer–Manin障碍 X ：K -代数簇 X (K ) ⊂ X (K ) ⊂ 某闭子集 ⊂ X (AK ) 6= ∅ 1，对Hasse原则的障碍；2，对弱逼近性质的障碍（射影簇） X (AK ) × Br(X ) → Q/Z (Brauer–Manin配对) X (xv ) , b 7→ h(xv ), biBM = invv (xv∗ (b)) v ∈Ω I 其中invv : Br(Kv ) → Q/Z是局部不变量（局部类域论） I xv∗ : Br(X ) → Br(Kv )由xv : Spec(Kv ) → X 诱导 M Br(Kv ) → Q/Z → 0可知 I 由0 → Br(K ) → v ∈Ω Br X (K ) ⊂ X (AK ) = {(xv )|∀b ∈ Br(X ) h(xv ), biBM = 0} 这是一个闭子集，是合适的候选对象 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 7 / 21 五分钟学会Brauer–Manin障碍 X ：K -代数簇 X (K ) ⊂ X (K ) ⊂ 某闭子集 ⊂ X (AK ) 6= ∅ 1，对Hasse原则的障碍；2，对弱逼近性质的障碍（射影簇） X (AK ) × Br(X ) → Q/Z (Brauer–Manin配对) X (xv ) , b 7→ h(xv ), biBM = invv (xv∗ (b)) v ∈Ω I 其中invv : Br(Kv ) → Q/Z是局部不变量（局部类域论） I xv∗ : Br(X ) → Br(Kv )由xv : Spec(Kv ) → X 诱导 M I 由0 → Br(K ) → Br(Kv ) → Q/Z → 0可知 v ∈Ω Br X (K ) ⊂ X (AK ) = {(xv )|∀b ∈ Br(X ) h(xv ), biBM = 0} 这是一个闭子集，是合适的候选对象 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 7 / 21 五分钟学会Brauer–Manin障碍 X ：K -代数簇 X (K ) ⊂ X (K ) ⊂ 某闭子集 ⊂ X (AK ) 6= ∅ 1，对Hasse原则的障碍；2，对弱逼近性质的障碍（射影簇） X (AK ) × Br(X ) → Q/Z (Brauer–Manin配对) X (xv ) , b 7→ h(xv ), biBM = invv (xv∗ (b)) v ∈Ω I 其中invv : Br(Kv ) → Q/Z是局部不变量（局部类域论） I xv∗ : Br(X ) → Br(Kv )由xv : Spec(Kv ) → X 诱导 M I 由0 → Br(K ) → Br(Kv ) → Q/Z → 0可知 v ∈Ω Br X (K ) ⊂ X (AK ) = {(xv )|∀b ∈ Br(X ) h(xv ), biBM = 0} 这是一个闭子集，是合适的候选对象 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 7 / 21 Brauer–Manin障碍 I 其他变种： X (AK )desc ：通过把H2et (X , Gm )替换成H1 (X , G )来定义(G ： 线性代数群) X (AK )et,Br ：通过X 的étale覆盖的Brauer–Manin障碍定义 I 花絮：X (AK )desc = X (AK )et,Br (Demarche、Skorobogatov、 曹阳、徐飞) Definition I Brauer–Manin障碍对Hasse原则是唯一障碍： X (AK )Br = ∅ ⇔ X (K ) = ∅ I Brauer–Manin障碍对弱逼近性质是唯一障碍：X (K ) = X (AK )Br (假设X 是射影的) I 刚才CT–S–SD定理是说Châtelet曲面满足上述定义所陈述的 性质。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 8 / 21 Brauer–Manin障碍 I 其他变种： X (AK )desc ：通过把H2et (X , Gm )替换成H1 (X , G )来定义(G ： 线性代数群) X (AK )et,Br ：通过X 的étale覆盖的Brauer–Manin障碍定义 I 花絮：X (AK )desc = X (AK )et,Br (Demarche、Skorobogatov、 曹阳、徐飞) Definition I Brauer–Manin障碍对Hasse原则是唯一障碍： X (AK )Br = ∅ ⇔ X (K ) = ∅ I Brauer–Manin障碍对弱逼近性质是唯一障碍：X (K ) = X (AK )Br (假设X 是射影的) I 刚才CT–S–SD定理是说Châtelet曲面满足上述定义所陈述的 性质。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 8 / 21 Brauer–Manin障碍 I 其他变种： X (AK )desc ：通过把H2et (X , Gm )替换成H1 (X , G )来定义(G ： 线性代数群) X (AK )et,Br ：通过X 的étale覆盖的Brauer–Manin障碍定义 I 花絮：X (AK )desc = X (AK )et,Br (Demarche、Skorobogatov、 曹阳、徐飞) Definition I Brauer–Manin障碍对Hasse原则是唯一障碍： X (AK )Br = ∅ ⇔ X (K ) = ∅ I Brauer–Manin障碍对弱逼近性质是唯一障碍：X (K ) = X (AK )Br (假设X 是射影的) I 刚才CT–S–SD定理是说Châtelet曲面满足上述定义所陈述的 性质。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 8 / 21 Brauer–Manin障碍 I 其他变种： X (AK )desc ：通过把H2et (X , Gm )替换成H1 (X , G )来定义(G ： 线性代数群) X (AK )et,Br ：通过X 的étale覆盖的Brauer–Manin障碍定义 I 花絮：X (AK )desc = X (AK )et,Br (Demarche、Skorobogatov、 曹阳、徐飞) Definition I Brauer–Manin障碍对Hasse原则是唯一障碍： X (AK )Br = ∅ ⇔ X (K ) = ∅ I Brauer–Manin障碍对弱逼近性质是唯一障碍：X (K ) = X (AK )Br (假设X 是射影的) I 刚才CT–S–SD定理是说Châtelet曲面满足上述定义所陈述的 性质。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 8 / 21 Brauer–Manin障碍 I 其他变种： X (AK )desc ：通过把H2et (X , Gm )替换成H1 (X , G )来定义(G ： 线性代数群) X (AK )et,Br ：通过X 的étale覆盖的Brauer–Manin障碍定义 I 花絮：X (AK )desc = X (AK )et,Br (Demarche、Skorobogatov、 曹阳、徐飞) Definition I Brauer–Manin障碍对Hasse原则是唯一障碍： X (AK )Br = ∅ ⇔ X (K ) = ∅ I Brauer–Manin障碍对弱逼近性质是唯一障碍：X (K ) = X (AK )Br (假设X 是射影的) I 刚才CT–S–SD定理是说Châtelet曲面满足上述定义所陈述的 性质。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 8 / 21 期盼的结果 Conjecture (Colliot-Thélène–Sansuc) 若X 是有理连通代数簇，则Brauer–Manin障碍对Hasse原则和弱逼 近性质是唯一障碍。 Conjecture (Scharaschkin-Skorobogatov，Stoll) 若X 是曲线，则Brauer–Manin障碍对Hasse原则和(除去无穷位以 外的)弱逼近性质是唯一障碍。 I 一些代数簇已被证明成立：1，带有群作用；2，带有纤维丛 结构 I 对于椭圆曲线，下文要用到的Stoll猜想等价于X群有限 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 9 / 21 期盼的结果 Conjecture (Colliot-Thélène–Sansuc) 若X 是有理连通代数簇，则Brauer–Manin障碍对Hasse原则和弱逼 近性质是唯一障碍。 Conjecture (Scharaschkin-Skorobogatov，Stoll) 若X 是曲线，则Brauer–Manin障碍对Hasse原则和(除去无穷位以 外的)弱逼近性质是唯一障碍。 I 一些代数簇已被证明成立：1，带有群作用；2，带有纤维丛 结构 I 对于椭圆曲线，下文要用到的Stoll猜想等价于X群有限 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 9 / 21 Brauer–Manin障碍的失效 I Skorobogatov，1999 Brauer–Manin障碍不能解释Hasse原则的失效： 双椭圆曲面——两亏格1的曲线的乘积/有限群作用 I Poonen，2010 étale Brauer–Manin障碍也不能解释Hasse原则的失效： 高亏格曲线上的Châtelet曲面丛 （或秩为0的椭圆曲线上的……） 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 10 / 21 Brauer–Manin障碍的失效 I Skorobogatov，1999 Brauer–Manin障碍不能解释Hasse原则的失效： 双椭圆曲面——两亏格1的曲线的乘积/有限群作用 I Poonen，2010 étale Brauer–Manin障碍也不能解释Hasse原则的失效： 高亏格曲线上的Châtelet曲面丛 （或秩为0的椭圆曲线上的……） 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 10 / 21 Châtelet曲面丛 I P1 上的Châtelet曲面丛 仿射方程：y 2 − at z 2 = Pt (x) I 其中at ∈ K [t]∗ ，Pt (x) ∈ K [t, x]且x-次数为4 I 类似地，如果假设（以下讨论基本都会满足这个假设） I at ∈ K ∗ 是常值 I P的t-次数为偶数 从这个方程出发可以给出V → P1 射影的Châtelet曲面丛 y 2 − at z 2 = Pt (x) V _ f De(V ) / P1 × P1 π (t, x) _ pr1 % 1 P t 其中De(V ) = {(t, x)|“Pt (x) = 0”} ⊂ P1 × P1 I θ ∈ Ram(π) ⇔ f −1 (θ)不光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 11 / 21 Châtelet曲面丛 I P1 上的Châtelet曲面丛 仿射方程：y 2 − at z 2 = Pt (x) I 其中at ∈ K [t]∗ ，Pt (x) ∈ K [t, x]且x-次数为4 I 类似地，如果假设（以下讨论基本都会满足这个假设） I at ∈ K ∗ 是常值 I P的t-次数为偶数 从这个方程出发可以给出V → P1 射影的Châtelet曲面丛 y 2 − at z 2 = Pt (x) V _ f De(V ) / P1 × P1 π (t, x) _ pr1 % 1 P t 其中De(V ) = {(t, x)|“Pt (x) = 0”} ⊂ P1 × P1 I θ ∈ Ram(π) ⇔ f −1 (θ)不光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 11 / 21 Châtelet曲面丛 I P1 上的Châtelet曲面丛 仿射方程：y 2 − at z 2 = Pt (x) I 其中at ∈ K [t]∗ ，Pt (x) ∈ K [t, x]且x-次数为4 I 类似地，如果假设（以下讨论基本都会满足这个假设） I at ∈ K ∗ 是常值 I P的t-次数为偶数 从这个方程出发可以给出V → P1 射影的Châtelet曲面丛 y 2 − at z 2 = Pt (x) V _ f De(V ) / P1 × P1 π (t, x) _ pr1 % 1 P t 其中De(V ) = {(t, x)|“Pt (x) = 0”} ⊂ P1 × P1 I θ ∈ Ram(π) ⇔ f −1 (θ)不光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 11 / 21 Châtelet曲面丛 I P1 上的Châtelet曲面丛 仿射方程：y 2 − at z 2 = Pt (x) I 其中at ∈ K [t]∗ ，Pt (x) ∈ K [t, x]且x-次数为4 I 类似地，如果假设（以下讨论基本都会满足这个假设） I at ∈ K ∗ 是常值 I P的t-次数为偶数 从这个方程出发可以给出V → P1 射影的Châtelet曲面丛 y 2 − at z 2 = Pt (x) V _ f De(V ) / P1 × P1 π (t, x) _ pr1 % 1 P t 其中De(V ) = {(t, x)|“Pt (x) = 0”} ⊂ P1 × P1 I θ ∈ Ram(π) ⇔ f −1 (θ)不光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 11 / 21 Châtelet曲面丛 I P1 上的Châtelet曲面丛 仿射方程：y 2 − at z 2 = Pt (x) I 其中at ∈ K [t]∗ ，Pt (x) ∈ K [t, x]且x-次数为4 I 类似地，如果假设（以下讨论基本都会满足这个假设） I at ∈ K ∗ 是常值 I P的t-次数为偶数 从这个方程出发可以给出V → P1 射影的Châtelet曲面丛 y 2 − at z 2 = Pt (x) V _ f De(V ) / P1 × P1 π (t, x) _ pr1 % 1 P t 其中De(V ) = {(t, x)|“Pt (x) = 0”} ⊂ P1 × P1 I θ ∈ Ram(π) ⇔ f −1 (θ)不光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 11 / 21 Poonen的构造 /V X F / P1 × P1 C × P1 pr 几个关键点： 1 2 3 4 5 6 7 8 C f γ pr1 / P1 ∅ 6= C (K ) < ∞ 且γ(C (K )) = {∞} ⊂ P1 Ram(γ) ∩ Ram(π : De(V ) → P1 ) = ∅(⇒ X 光滑) De(V )光滑+(2)⇒ Br(C ) → Br(X )满射 (1)⇒ ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 ' V∞ 只要取合适的V∞ (即取合适的a ∈ K ∗ 和P∞ (x) ∈ K [x]，类域 论凑系数)使得 ∅ = V∞ (K ) = V∞ (AK )Br ( V∞ (AK ) (4)+(5)⇒ X (K ) = ∅ (3)+(5)⇒ X (AK )Br 6= ∅ 取定V∞ 后取适当的V0 可以使De(V )光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 12 / 21 Poonen的构造 /V X F / P1 × P1 C × P1 pr 几个关键点： 1 2 3 4 5 6 7 8 C f γ pr1 / P1 ∅ 6= C (K ) < ∞ 且γ(C (K )) = {∞} ⊂ P1 Ram(γ) ∩ Ram(π : De(V ) → P1 ) = ∅(⇒ X 光滑) De(V )光滑+(2)⇒ Br(C ) → Br(X )满射 (1)⇒ ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 ' V∞ 只要取合适的V∞ (即取合适的a ∈ K ∗ 和P∞ (x) ∈ K [x]，类域 论凑系数)使得 ∅ = V∞ (K ) = V∞ (AK )Br ( V∞ (AK ) (4)+(5)⇒ X (K ) = ∅ (3)+(5)⇒ X (AK )Br 6= ∅ 取定V∞ 后取适当的V0 可以使De(V )光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 12 / 21 Poonen的构造 /V X F / P1 × P1 C × P1 pr 几个关键点： 1 2 3 4 5 6 7 8 C f γ pr1 / P1 ∅ 6= C (K ) < ∞ 且γ(C (K )) = {∞} ⊂ P1 Ram(γ) ∩ Ram(π : De(V ) → P1 ) = ∅(⇒ X 光滑) De(V )光滑+(2)⇒ Br(C ) → Br(X )满射 (1)⇒ ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 ' V∞ 只要取合适的V∞ (即取合适的a ∈ K ∗ 和P∞ (x) ∈ K [x]，类域 论凑系数)使得 ∅ = V∞ (K ) = V∞ (AK )Br ( V∞ (AK ) (4)+(5)⇒ X (K ) = ∅ (3)+(5)⇒ X (AK )Br 6= ∅ 取定V∞ 后取适当的V0 可以使De(V )光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 12 / 21 Poonen的构造 /V X F / P1 × P1 C × P1 pr 几个关键点： 1 2 3 4 5 6 7 8 C f γ pr1 / P1 ∅ 6= C (K ) < ∞ 且γ(C (K )) = {∞} ⊂ P1 Ram(γ) ∩ Ram(π : De(V ) → P1 ) = ∅(⇒ X 光滑) De(V )光滑+(2)⇒ Br(C ) → Br(X )满射 (1)⇒ ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 ' V∞ 只要取合适的V∞ (即取合适的a ∈ K ∗ 和P∞ (x) ∈ K [x]，类域 论凑系数)使得 ∅ = V∞ (K ) = V∞ (AK )Br ( V∞ (AK ) (4)+(5)⇒ X (K ) = ∅ (3)+(5)⇒ X (AK )Br 6= ∅ 取定V∞ 后取适当的V0 可以使De(V )光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 12 / 21 Poonen的构造 /V X F / P1 × P1 C × P1 pr 几个关键点： 1 2 3 4 5 6 7 8 C f γ pr1 / P1 ∅ 6= C (K ) < ∞ 且γ(C (K )) = {∞} ⊂ P1 Ram(γ) ∩ Ram(π : De(V ) → P1 ) = ∅(⇒ X 光滑) De(V )光滑+(2)⇒ Br(C ) → Br(X )满射 (1)⇒ ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 ' V∞ 只要取合适的V∞ (即取合适的a ∈ K ∗ 和P∞ (x) ∈ K [x]，类域 论凑系数)使得 ∅ = V∞ (K ) = V∞ (AK )Br ( V∞ (AK ) (4)+(5)⇒ X (K ) = ∅ (3)+(5)⇒ X (AK )Br 6= ∅ 取定V∞ 后取适当的V0 可以使De(V )光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 12 / 21 Poonen的构造 /V X F / P1 × P1 C × P1 pr 几个关键点： 1 2 3 4 5 6 7 8 C f γ pr1 / P1 ∅ 6= C (K ) < ∞ 且γ(C (K )) = {∞} ⊂ P1 Ram(γ) ∩ Ram(π : De(V ) → P1 ) = ∅(⇒ X 光滑) De(V )光滑+(2)⇒ Br(C ) → Br(X )满射 (1)⇒ ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 ' V∞ 只要取合适的V∞ (即取合适的a ∈ K ∗ 和P∞ (x) ∈ K [x]，类域 论凑系数)使得 ∅ = V∞ (K ) = V∞ (AK )Br ( V∞ (AK ) (4)+(5)⇒ X (K ) = ∅ (3)+(5)⇒ X (AK )Br 6= ∅ 取定V∞ 后取适当的V0 可以使De(V )光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 12 / 21 Poonen的构造 /V X F / P1 × P1 C × P1 pr 几个关键点： 1 2 3 4 5 6 7 8 C f γ pr1 / P1 ∅ 6= C (K ) < ∞ 且γ(C (K )) = {∞} ⊂ P1 Ram(γ) ∩ Ram(π : De(V ) → P1 ) = ∅(⇒ X 光滑) De(V )光滑+(2)⇒ Br(C ) → Br(X )满射 (1)⇒ ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 ' V∞ 只要取合适的V∞ (即取合适的a ∈ K ∗ 和P∞ (x) ∈ K [x]，类域 论凑系数)使得 ∅ = V∞ (K ) = V∞ (AK )Br ( V∞ (AK ) (4)+(5)⇒ X (K ) = ∅ (3)+(5)⇒ X (AK )Br 6= ∅ 取定V∞ 后取适当的V0 可以使De(V )光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 12 / 21 Poonen的构造 /V X F / P1 × P1 C × P1 pr 几个关键点： 1 2 3 4 5 6 7 8 C f γ pr1 / P1 ∅ 6= C (K ) < ∞ 且γ(C (K )) = {∞} ⊂ P1 Ram(γ) ∩ Ram(π : De(V ) → P1 ) = ∅(⇒ X 光滑) De(V )光滑+(2)⇒ Br(C ) → Br(X )满射 (1)⇒ ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 ' V∞ 只要取合适的V∞ (即取合适的a ∈ K ∗ 和P∞ (x) ∈ K [x]，类域 论凑系数)使得 ∅ = V∞ (K ) = V∞ (AK )Br ( V∞ (AK ) (4)+(5)⇒ X (K ) = ∅ (3)+(5)⇒ X (AK )Br 6= ∅ 取定V∞ 后取适当的V0 可以使De(V )光滑 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 12 / 21 小结 Theorem (Poonen, 2010) 对任何数域K ，存在Châtelet曲面丛X 违反了Hasse原则（更不满 足弱逼近性质），而且(étale)Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 方法：从P1 上的Châtelet曲面丛拉回到曲线上，归结为一根 纤维（V∞ ）的算术性质 Question 基域扩张L/K 后代数簇的算术性质（Hasse原则、弱逼近性 质、Brauer–Manin障碍）是否会改变？ I 特别地，Poonen的Châtelet曲面丛呢？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 13 / 21 小结 Theorem (Poonen, 2010) 对任何数域K ，存在Châtelet曲面丛X 违反了Hasse原则（更不满 足弱逼近性质），而且(étale)Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 方法：从P1 上的Châtelet曲面丛拉回到曲线上，归结为一根 纤维（V∞ ）的算术性质 Question 基域扩张L/K 后代数簇的算术性质（Hasse原则、弱逼近性 质、Brauer–Manin障碍）是否会改变？ I 特别地，Poonen的Châtelet曲面丛呢？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 13 / 21 小结 Theorem (Poonen, 2010) 对任何数域K ，存在Châtelet曲面丛X 违反了Hasse原则（更不满 足弱逼近性质），而且(étale)Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 方法：从P1 上的Châtelet曲面丛拉回到曲线上，归结为一根 纤维（V∞ ）的算术性质 Question 基域扩张L/K 后代数簇的算术性质（Hasse原则、弱逼近性 质、Brauer–Manin障碍）是否会改变？ I 特别地，Poonen的Châtelet曲面丛呢？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 13 / 21 Châtelet曲面丛的算术性质 Theorem (吴晗，2020) 假设Stoll猜想成立。给定L/K 满足以下两条之一， I L拥有实位 I [L : K ]是奇数 则存在Châtelet曲面丛X 使得 I XK 和XL 均违反Hasse原则， I XK 上Brauer–Manin障碍是唯一障碍， I XL 上Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 弱逼近性质有类似结果，而且对L/K 无限制 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 14 / 21 Châtelet曲面丛的算术性质 Theorem (吴晗，2020) 假设Stoll猜想成立。给定L/K 满足以下两条之一， I L拥有实位 I [L : K ]是奇数 则存在Châtelet曲面丛X 使得 I XK 和XL 均违反Hasse原则， I XK 上Brauer–Manin障碍是唯一障碍， I XL 上Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 弱逼近性质有类似结果，而且对L/K 无限制 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 14 / 21 吴晗：Poonen构造v2 /V X 几个关键点： C F γ f / P1 I . . . ⇒ X 光滑，Br(C ) → Br(X )满射（同之前） I ∅ 6= C (K ) ( C (L) < ∞， γ(C (K )) = {0}，γ(C (L) \ C (K )) = {∞} I ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 = V0 ，∀Θ0 ∈ C (L) \ C (K ), XΘ0 = V∞ ⊗K L I 取合适的V∞ /K 且∅ = V∞L (AL )Br ( V∞L (AL )(需2 - [L : K ]) (⇒ X 在L上违反Hasse原则且BM障碍不是唯一障碍) I 取V0 使∀v 6= v0 , V0 (Kv ) 6= ∅(⇒ X (Kv ) 6= ∅)但V0 (Kv0 ) = ∅ 其中有 有限位 v0 在L/K 上完全分裂(⇒ Kv0 = Lw0 , X (Kv0 ) 6= ∅) I X (AK )Br = ∅。 (xv ) ⊥ Br(X )⇒F (xv ) ⊥ Br(C )，Stoll猜 想(及C (K ) < ∞)：在有限位上F (xv )必是一个K -有理点，矛 盾(K -点上的纤维总是缺少Kv0 -点) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 15 / 21 吴晗：Poonen构造v2 /V X 几个关键点： C F γ f / P1 I . . . ⇒ X 光滑，Br(C ) → Br(X )满射（同之前） I ∅ 6= C (K ) ( C (L) < ∞， γ(C (K )) = {0}，γ(C (L) \ C (K )) = {∞} I ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 = V0 ，∀Θ0 ∈ C (L) \ C (K ), XΘ0 = V∞ ⊗K L I 取合适的V∞ /K 且∅ = V∞L (AL )Br ( V∞L (AL )(需2 - [L : K ]) (⇒ X 在L上违反Hasse原则且BM障碍不是唯一障碍) I 取V0 使∀v 6= v0 , V0 (Kv ) 6= ∅(⇒ X (Kv ) 6= ∅)但V0 (Kv0 ) = ∅ 其中有 有限位 v0 在L/K 上完全分裂(⇒ Kv0 = Lw0 , X (Kv0 ) 6= ∅) I X (AK )Br = ∅。 (xv ) ⊥ Br(X )⇒F (xv ) ⊥ Br(C )，Stoll猜 想(及C (K ) < ∞)：在有限位上F (xv )必是一个K -有理点，矛 盾(K -点上的纤维总是缺少Kv0 -点) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 15 / 21 吴晗：Poonen构造v2 /V X 几个关键点： C F γ f / P1 I . . . ⇒ X 光滑，Br(C ) → Br(X )满射（同之前） I ∅ 6= C (K ) ( C (L) < ∞， γ(C (K )) = {0}，γ(C (L) \ C (K )) = {∞} I ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 = V0 ，∀Θ0 ∈ C (L) \ C (K ), XΘ0 = V∞ ⊗K L I 取合适的V∞ /K 且∅ = V∞L (AL )Br ( V∞L (AL )(需2 - [L : K ]) (⇒ X 在L上违反Hasse原则且BM障碍不是唯一障碍) I 取V0 使∀v 6= v0 , V0 (Kv ) 6= ∅(⇒ X (Kv ) 6= ∅)但V0 (Kv0 ) = ∅ 其中有 有限 位v0 在L/K 上完全分裂(⇒ Kv0 = Lw0 , X (Kv0 ) 6= ∅) I X (AK )Br = ∅。 (xv ) ⊥ Br(X )⇒F (xv ) ⊥ Br(C )，Stoll猜 想(及C (K ) < ∞)：在有限位上F (xv )必是一个K -有理点，矛 盾(K -点上的纤维总是缺少Kv0 -点) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 15 / 21 吴晗：Poonen构造v2 /V X 几个关键点： C F γ f / P1 I . . . ⇒ X 光滑，Br(C ) → Br(X )满射（同之前） I ∅ 6= C (K ) ( C (L) < ∞， γ(C (K )) = {0}，γ(C (L) \ C (K )) = {∞} I ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 = V0 ，∀Θ0 ∈ C (L) \ C (K ), XΘ0 = V∞ ⊗K L I 取合适的V∞ /K 且∅ = V∞L (AL )Br ( V∞L (AL )(需2 - [L : K ]) (⇒ X 在L上违反Hasse原则且BM障碍不是唯一障碍) I 取V0 使∀v 6= v0 , V0 (Kv ) 6= ∅(⇒ X (Kv ) 6= ∅)但V0 (Kv0 ) = ∅ 其中有 有限 位v0 在L/K 上完全分裂(⇒ Kv0 = Lw0 , X (Kv0 ) 6= ∅) I X (AK )Br = ∅。 (xv ) ⊥ Br(X )⇒F (xv ) ⊥ Br(C )，Stoll猜 想(及C (K ) < ∞)：在有限位上F (xv )必是一个K -有理点，矛 盾(K -点上的纤维总是缺少Kv0 -点) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 15 / 21 吴晗：Poonen构造v2 /V X 几个关键点： C F γ f / P1 I . . . ⇒ X 光滑，Br(C ) → Br(X )满射（同之前） I ∅ 6= C (K ) ( C (L) < ∞， γ(C (K )) = {0}，γ(C (L) \ C (K )) = {∞} I ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 = V0 ，∀Θ0 ∈ C (L) \ C (K ), XΘ0 = V∞ ⊗K L I 取合适的V∞ /K 且∅ = V∞L (AL )Br ( V∞L (AL )(需2 - [L : K ]) (⇒ X 在L上违反Hasse原则且BM障碍不是唯一障碍) I 取V0 使∀v 6= v0 , V0 (Kv ) 6= ∅(⇒ X (Kv ) 6= ∅)但V0 (Kv0 ) = ∅ 其中有 有限 位v0 在L/K 上完全分裂(⇒ Kv0 = Lw0 , X (Kv0 ) 6= ∅) I X (AK )Br = ∅。 (xv ) ⊥ Br(X )⇒F (xv ) ⊥ Br(C )，Stoll猜 想(及C (K ) < ∞)：在有限位上F (xv )必是一个K -有理点，矛 盾(K -点上的纤维总是缺少Kv0 -点) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 15 / 21 吴晗：Poonen构造v2 /V X 几个关键点： C F γ f / P1 I . . . ⇒ X 光滑，Br(C ) → Br(X )满射（同之前） I ∅ 6= C (K ) ( C (L) < ∞， γ(C (K )) = {0}，γ(C (L) \ C (K )) = {∞} I ∀Θ0 ∈ C (K ), XΘ0 = V0 ，∀Θ0 ∈ C (L) \ C (K ), XΘ0 = V∞ ⊗K L I 取合适的V∞ /K 且∅ = V∞L (AL )Br ( V∞L (AL )(需2 - [L : K ]) (⇒ X 在L上违反Hasse原则且BM障碍不是唯一障碍) I 取V0 使∀v 6= v0 , V0 (Kv ) 6= ∅(⇒ X (Kv ) 6= ∅)但V0 (Kv0 ) = ∅ 其中有 有限 位v0 在L/K 上完全分裂(⇒ Kv0 = Lw0 , X (Kv0 ) 6= ∅) I X (AK )Br = ∅。 (xv ) ⊥ Br(X )⇒F (xv ) ⊥ Br(C )，Stoll猜 想(及C (K ) < ∞)：在有限位上F (xv )必是一个K -有理点，矛 盾(K -点上的纤维总是缺少Kv0 -点) 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 15 / 21 小结 I 关注了两根特殊纤维V0 和V∞ I 缺点：V∞ 是K -代数簇，但我们仅仅需要它在L上的性 质，Br(V∞ )/Br(K ) ' Z/2Z一旦基变换到偶数次扩 张L上Brauer–Manin配对会消失。 I 先造好Châtelet曲面丛V → P1 再寻找合适的γ : C → P1 作拉 回往往较难改进这个缺点：拉回后纤维的基域常发生变化 √ I （吴晗）例外：L/K = Q( −1)/Q偶数次扩张而且无实 位，但仍有具体例子。 I “例外构造”的关键：相关的纤维定义在一对共轭的L-点 上，而不可定义在K 上。 I 问题：是否可以统一处理这些情况？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 16 / 21 小结 I 关注了两根特殊纤维V0 和V∞ I 缺点：V∞ 是K -代数簇，但我们仅仅需要它在L上的性 质，Br(V∞ )/Br(K ) ' Z/2Z一旦基变换到偶数次扩 张L上Brauer–Manin配对会消失。 I 先造好Châtelet曲面丛V → P1 再寻找合适的γ : C → P1 作拉 回往往较难改进这个缺点：拉回后纤维的基域常发生变化 √ I （吴晗）例外：L/K = Q( −1)/Q偶数次扩张而且无实 位，但仍有具体例子。 I “例外构造”的关键：相关的纤维定义在一对共轭的L-点 上，而不可定义在K 上。 I 问题：是否可以统一处理这些情况？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 16 / 21 小结 I 关注了两根特殊纤维V0 和V∞ I 缺点：V∞ 是K -代数簇，但我们仅仅需要它在L上的性 质，Br(V∞ )/Br(K ) ' Z/2Z一旦基变换到偶数次扩 张L上Brauer–Manin配对会消失。 I 先造好Châtelet曲面丛V → P1 再寻找合适的γ : C → P1 作拉 回往往较难改进这个缺点：拉回后纤维的基域常发生变化 √ I （吴晗）例外：L/K = Q( −1)/Q偶数次扩张而且无实 位，但仍有具体例子。 I “例外构造”的关键：相关的纤维定义在一对共轭的L-点 上，而不可定义在K 上。 I 问题：是否可以统一处理这些情况？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 16 / 21 小结 I 关注了两根特殊纤维V0 和V∞ I 缺点：V∞ 是K -代数簇，但我们仅仅需要它在L上的性 质，Br(V∞ )/Br(K ) ' Z/2Z一旦基变换到偶数次扩 张L上Brauer–Manin配对会消失。 I 先造好Châtelet曲面丛V → P1 再寻找合适的γ : C → P1 作拉 回往往较难改进这个缺点：拉回后纤维的基域常发生变化 √ I （吴晗）例外：L/K = Q( −1)/Q偶数次扩张而且无实 位，但仍有具体例子。 I “例外构造”的关键：相关的纤维定义在一对共轭的L-点 上，而不可定义在K 上。 I 问题：是否可以统一处理这些情况？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 16 / 21 小结 I 关注了两根特殊纤维V0 和V∞ I 缺点：V∞ 是K -代数簇，但我们仅仅需要它在L上的性 质，Br(V∞ )/Br(K ) ' Z/2Z一旦基变换到偶数次扩 张L上Brauer–Manin配对会消失。 I 先造好Châtelet曲面丛V → P1 再寻找合适的γ : C → P1 作拉 回往往较难改进这个缺点：拉回后纤维的基域常发生变化 √ I （吴晗）例外：L/K = Q( −1)/Q偶数次扩张而且无实 位，但仍有具体例子。 I “例外构造”的关键：相关的纤维定义在一对共轭的L-点 上，而不可定义在K 上。 I 问题：是否可以统一处理这些情况？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 16 / 21 小结 I 关注了两根特殊纤维V0 和V∞ I 缺点：V∞ 是K -代数簇，但我们仅仅需要它在L上的性 质，Br(V∞ )/Br(K ) ' Z/2Z一旦基变换到偶数次扩 张L上Brauer–Manin配对会消失。 I 先造好Châtelet曲面丛V → P1 再寻找合适的γ : C → P1 作拉 回往往较难改进这个缺点：拉回后纤维的基域常发生变化 √ I （吴晗）例外：L/K = Q( −1)/Q偶数次扩张而且无实 位，但仍有具体例子。 I “例外构造”的关键：相关的纤维定义在一对共轭的L-点 上，而不可定义在K 上。 I 问题：是否可以统一处理这些情况？ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 16 / 21 主定理 Theorem (欢迎围观 - arXiv:2106.10643) 假设Stoll猜想成立。任给定有限扩张L/K ，存在Châtelet曲面 丛X 使得 I XK 和XL 均违反Hasse原则， I XK 上Brauer–Manin障碍是唯一障碍， I XL 上Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 17 / 21 Poonen构造v3——Lagrange插值在纤维丛上的应用 I 策略：先给定γ : C → P1 ，看好C (K )、C (L)在P1 中的落点 之后按算术性质的需求安排特定的Châtelet曲面在需要的点 上出现成为纤维。 I 如何安排？ I Lagrange插值：给定有限个K -点xi ，任给值ai ∈ K ，寻找多 项式P(x) ∈ K [x]使得P(xi ) = ai I 插“代数簇”：给定P1 上有限个（闭）点θi ，任给代数 簇Vi ，寻找纤维丛V → P1 使得纤维Vθi ' Vi I (与之前对比)同时关注了任意数目的特殊纤维。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 18 / 21 Poonen构造v3——Lagrange插值在纤维丛上的应用 I 策略：先给定γ : C → P1 ，看好C (K )、C (L)在P1 中的落点 之后按算术性质的需求安排特定的Châtelet曲面在需要的点 上出现成为纤维。 I 如何安排？ I Lagrange插值：给定有限个K -点xi ，任给值ai ∈ K ，寻找多 项式P(x) ∈ K [x]使得P(xi ) = ai I 插“代数簇”：给定P1 上有限个（闭）点θi ，任给代数 簇Vi ，寻找纤维丛V → P1 使得纤维Vθi ' Vi I (与之前对比)同时关注了任意数目的特殊纤维。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 18 / 21 Poonen构造v3——Lagrange插值在纤维丛上的应用 I 策略：先给定γ : C → P1 ，看好C (K )、C (L)在P1 中的落点 之后按算术性质的需求安排特定的Châtelet曲面在需要的点 上出现成为纤维。 I 如何安排？ I Lagrange插值：给定有限个K -点xi ，任给值ai ∈ K ，寻找多 项式P(x) ∈ K [x]使得P(xi ) = ai I 插“代数簇”：给定P1 上有限个（闭）点θi ，任给代数 簇Vi ，寻找纤维丛V → P1 使得纤维Vθi ' Vi I (与之前对比)同时关注了任意数目的特殊纤维。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 18 / 21 Poonen构造v3——Lagrange插值在纤维丛上的应用 I 策略：先给定γ : C → P1 ，看好C (K )、C (L)在P1 中的落点 之后按算术性质的需求安排特定的Châtelet曲面在需要的点 上出现成为纤维。 I 如何安排？ I Lagrange插值：给定有限个K -点xi ，任给值ai ∈ K ，寻找多 项式P(x) ∈ K [x]使得P(xi ) = ai I 插“代数簇”：给定P1 上有限个（闭）点θi ，任给代数 簇Vi ，寻找纤维丛V → P1 使得纤维Vθi ' Vi I (与之前对比)同时关注了任意数目的特殊纤维。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 18 / 21 Lagrange插值在纤维丛上的应用 Proposition (证明主定理的关键步骤) 给定A1 中的有限个闭点θi ，令Ki = K (θi )为相应的剩余类 域。任给定定义在Ki 上的Châtelet曲面Si 。那么存在Châtelet曲面 丛V → A1 使得纤维Vθi ' Si 。 在某些温和的额外条件下，这个Châtelet曲面丛可以延拓 1 到P 上，而且使得对于事先给定的γ : C → P1 ，它的拉回是一个 光滑的射影代数簇。 I 优点：如果给定的γ把C 的一个L-点P 0 映到P ∈ P1 后剩余类 域不缩小(超椭圆曲线容易做到)则XP 0 ' VP 本身就是有特定 算术性质的L-簇，并不会由于域扩张改变了这个预设的算术 性质。 证明思路 I 当所有Ki = K 时，就是传统的Lagrange插值，用多项式去插 值Châtelet曲面定义方程中的系数 I 当Ki 任意时，本质上是中国剩余定理 I 适当地调整插值多项式，用Jacobi判别得到光滑性 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 19 / 21 Lagrange插值在纤维丛上的应用 Proposition (证明主定理的关键步骤) 给定A1 中的有限个闭点θi ，令Ki = K (θi )为相应的剩余类 域。任给定定义在Ki 上的Châtelet曲面Si 。那么存在Châtelet曲面 丛V → A1 使得纤维Vθi ' Si 。 在某些温和的额外条件下，这个Châtelet曲面丛可以延拓 1 到P 上，而且使得对于事先给定的γ : C → P1 ，它的拉回是一个 光滑的射影代数簇。 I 优点：如果给定的γ把C 的一个L-点P 0 映到P ∈ P1 后剩余类 域不缩小(超椭圆曲线容易做到)则XP 0 ' VP 本身就是有特定 算术性质的L-簇，并不会由于域扩张改变了这个预设的算术 性质。 证明思路 I 当所有Ki = K 时，就是传统的Lagrange插值，用多项式去插 值Châtelet曲面定义方程中的系数 I 当Ki 任意时，本质上是中国剩余定理 I 适当地调整插值多项式，用Jacobi判别得到光滑性 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 19 / 21 Lagrange插值在纤维丛上的应用 Proposition (证明主定理的关键步骤) 给定A1 中的有限个闭点θi ，令Ki = K (θi )为相应的剩余类 域。任给定定义在Ki 上的Châtelet曲面Si 。那么存在Châtelet曲面 丛V → A1 使得纤维Vθi ' Si 。 在某些温和的额外条件下，这个Châtelet曲面丛可以延拓 1 到P 上，而且使得对于事先给定的γ : C → P1 ，它的拉回是一个 光滑的射影代数簇。 I 优点：如果给定的γ把C 的一个L-点P 0 映到P ∈ P1 后剩余类 域不缩小(超椭圆曲线容易做到)则XP 0 ' VP 本身就是有特定 算术性质的L-簇，并不会由于域扩张改变了这个预设的算术 性质。 证明思路 I 当所有Ki = K 时，就是传统的Lagrange插值，用多项式去插 值Châtelet曲面定义方程中的系数 I 当Ki 任意时，本质上是中国剩余定理 I 适当地调整插值多项式，用Jacobi判别得到光滑性 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 19 / 21 Lagrange插值在纤维丛上的应用 Proposition (证明主定理的关键步骤) 给定A1 中的有限个闭点θi ，令Ki = K (θi )为相应的剩余类 域。任给定定义在Ki 上的Châtelet曲面Si 。那么存在Châtelet曲面 丛V → A1 使得纤维Vθi ' Si 。 在某些温和的额外条件下，这个Châtelet曲面丛可以延拓 1 到P 上，而且使得对于事先给定的γ : C → P1 ，它的拉回是一个 光滑的射影代数簇。 I 优点：如果给定的γ把C 的一个L-点P 0 映到P ∈ P1 后剩余类 域不缩小(超椭圆曲线容易做到)则XP 0 ' VP 本身就是有特定 算术性质的L-簇，并不会由于域扩张改变了这个预设的算术 性质。 证明思路 I 当所有Ki = K 时，就是传统的Lagrange插值，用多项式去插 值Châtelet曲面定义方程中的系数 I 当Ki 任意时，本质上是中国剩余定理 I 适当地调整插值多项式，用Jacobi判别得到光滑性 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 19 / 21 Lagrange插值在纤维丛上的应用 Proposition (证明主定理的关键步骤) 给定A1 中的有限个闭点θi ，令Ki = K (θi )为相应的剩余类 域。任给定定义在Ki 上的Châtelet曲面Si 。那么存在Châtelet曲面 丛V → A1 使得纤维Vθi ' Si 。 在某些温和的额外条件下，这个Châtelet曲面丛可以延拓 1 到P 上，而且使得对于事先给定的γ : C → P1 ，它的拉回是一个 光滑的射影代数簇。 I 优点：如果给定的γ把C 的一个L-点P 0 映到P ∈ P1 后剩余类 域不缩小(超椭圆曲线容易做到)则XP 0 ' VP 本身就是有特定 算术性质的L-簇，并不会由于域扩张改变了这个预设的算术 性质。 证明思路 I 当所有Ki = K 时，就是传统的Lagrange插值，用多项式去插 值Châtelet曲面定义方程中的系数 I 当Ki 任意时，本质上是中国剩余定理 I 适当地调整插值多项式，用Jacobi判别得到光滑性 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 19 / 21 Lagrange插值在纤维丛上的应用 Proposition (证明主定理的关键步骤) 给定A1 中的有限个闭点θi ，令Ki = K (θi )为相应的剩余类 域。任给定定义在Ki 上的Châtelet曲面Si 。那么存在Châtelet曲面 丛V → A1 使得纤维Vθi ' Si 。 在某些温和的额外条件下，这个Châtelet曲面丛可以延拓 1 到P 上，而且使得对于事先给定的γ : C → P1 ，它的拉回是一个 光滑的射影代数簇。 I 优点：如果给定的γ把C 的一个L-点P 0 映到P ∈ P1 后剩余类 域不缩小(超椭圆曲线容易做到)则XP 0 ' VP 本身就是有特定 算术性质的L-簇，并不会由于域扩张改变了这个预设的算术 性质。 证明思路 I 当所有Ki = K 时，就是传统的Lagrange插值，用多项式去插 值Châtelet曲面定义方程中的系数 I 当Ki 任意时，本质上是中国剩余定理 I 适当地调整插值多项式，用Jacobi判别得到光滑性 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 19 / 21 进一步思考 Theorem 假设Stoll猜想成立。任给定有限扩张L/K ，存在Châtelet曲面 丛X 使得 I XK 和XL 均违反Hasse原则， I XK 上Brauer–Manin障碍是唯一障碍， I XL 上Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 问题：能否把“是”和“不是”的位置交换？ Theorem (CT–Poonen 2000, Creutz–Viray 2021, 曹阳 2021) 令X 为拟射影光滑K -代数簇， 则X (AK )Br 6= ∅ ⇒ X (AL )Br 6= ∅。 因此反过来的情况不可能出现。 I 各证明均利用了Weil限制。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 20 / 21 进一步思考 Theorem 假设Stoll猜想成立。任给定有限扩张L/K ，存在Châtelet曲面 丛X 使得 I XK 和XL 均违反Hasse原则， I XK 上Brauer–Manin障碍是唯一障碍， I XL 上Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 问题：能否把“是”和“不是”的位置交换？ Theorem (CT–Poonen 2000, Creutz–Viray 2021, 曹阳 2021) 令X 为拟射影光滑K -代数簇， 则X (AK )Br 6= ∅ ⇒ X (AL )Br 6= ∅。 因此反过来的情况不可能出现。 I 各证明均利用了Weil限制。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 20 / 21 进一步思考 Theorem 假设Stoll猜想成立。任给定有限扩张L/K ，存在Châtelet曲面 丛X 使得 I XK 和XL 均违反Hasse原则， I XK 上Brauer–Manin障碍是唯一障碍， I XL 上Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 问题：能否把“是”和“不是”的位置交换？ Theorem (CT–Poonen 2000, Creutz–Viray 2021, 曹阳 2021) 令X 为拟射影光滑K -代数簇， 则X (AK )Br 6= ∅ ⇒ X (AL )Br 6= ∅。 因此反过来的情况不可能出现。 I 各证明均利用了Weil限制。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 20 / 21 进一步思考 Theorem 假设Stoll猜想成立。任给定有限扩张L/K ，存在Châtelet曲面 丛X 使得 I XK 和XL 均违反Hasse原则， I XK 上Brauer–Manin障碍是唯一障碍， I XL 上Brauer–Manin障碍不是唯一障碍。 I 问题：能否把“是”和“不是”的位置交换？ Theorem (CT–Poonen 2000, Creutz–Viray 2021, 曹阳 2021) 令X 为拟射影光滑K -代数簇， 则X (AK )Br 6= ∅ ⇒ X (AL )Br 6= ∅。 因此反过来的情况不可能出现。 I 各证明均利用了Weil限制。 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 20 / 21 谢谢聆听！ 梁 永祺 中国科学技术大学 某些Châtelet曲面丛的算术研究 21 / 21