Hensel域上的局部算术对偶定理.pdf
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分类号 密级 UDC 编号 中国科学院研究生院 硕士学位论文 Hensel域 域上 的 局 部 算 术 对 偶 定 理 梁永祺 指导教师 徐飞 研究员 中国科学院数学与系统科学研究院 申请学位级别 硕士 论文提 交日期 2008年 年月 培养单位 学位授予单位 学科专业名称 基础数学 论文答辩日期 2008年 年月 中国科学院数学与系统科学研究院 中国科学院研究生院 答辩委员会主席 Local Arithmetic Duality Theorem for Henselian Fields Yong-Qi LIANG Supervisor: Prof. Fei XU Institute of Mathematics Academy of Mathematics and Systems Science Chinese Academy of Sciences September, 2008 Submitted in total fulfilment of the requirements for the degree of Master in Fundamental Mathematics 摘 要 本文讨论Hensel域上的局部算术对偶定理。首先，笔者指出文献[13]中相应 定理的证明并不清晰，然后介绍证明所需要的一些相应的预备知识，最后本文 将给出完整的证明。 关键词： Hensel域，算术对偶定理 Abstract The local arithmetic duality theorem for Henselian fields is discussed in this thesis. Firstly, it is pointed out that in [13] the proof of the corresponding theorem is not clear; then some preliminaries are introduced; finally, a complete proof of the theorem is given. Keywords: Henselian field, arithmetic duality theorem 目 录 摘要 i Abstract iii 目录 v 第零章 引言 1 第一章 问题的提出 3 1.1 基本定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 问题的提出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 第二章 一些预备知识 9 2.1 Greenberg逼近定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Hensel域的类域论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 第三章 Hensel域上算术对偶定理的证明 13 附录 A 局部算术对偶定理的简略证明 15 参考文献 19 致谢 21 第零章 引言 算术对偶定理的研究始于二十世纪五十年代。J. Tate研究非阿基米德局部 域上的Abel簇的对偶定理，即H 1 (K, At )∗ ' A(K)，其中K是一个非阿基米德局 部域，A是K上的Abel簇，At 是对偶Abel簇。为了证明上述同构，Tate考虑由群概 n 形的短正合列0 → An → A → A → 0相应的Galois上同调长正合列，从而归结为 研究关于有限群概形An 的对偶定理。等价地，研究离散Gal(K s /K)-模An (K s )的 对偶定理。Tate得到了局部算术对偶定理1.1。对于整体域而言，Tate也得到了 一个对偶定理，同时，G. Poitou独立得到了部分相同的结果，即整体算术对 偶的Poitou-Tate序列，参见Tate于瑞典1962年国际数学家大会的报告[18]。该 报告中陈述了局部和整体的算术对偶定理，并给出了证明的大致思路和概要。 完整的证明可以在许多参考书中找到，例如[13]、[15]或者[5]。六十年代，用平 展（étale）上同调的语言，局部和整体算术对偶定理有了新的陈述，即ArtinVerdier定理。在[11]中B. Mazur对K是全虚的数域的特殊情况给出了一个详细 的证明，但是[2] 中C. Deninger指出[11]中证明的一个小缺陷。也许第一个完整 的对Artin-Verdier定理数域情况的证明由[13]给出。笔者认为对于整体函数域情 形，[13]中的证明是不完整的，作为补充，在[2]中找到对此情形的证明。近来，算 术对偶定理已经被推广到1-motives上，参见[6]和[3]。 本文讨论的Hensel域上的局部算术对偶定理1.4是非阿基米德局部域的算 术对偶定理1.1的推广。由于Hensel离散赋值环在平展（étale）上同调理论中处 于重要的地位，[13]对Artin-Verdier定理的证明应用了Hensel域上的局部算术对 偶定理。在[11]中已经指出局部对偶定理可以推广到Hensel域上，但没有给出证 明，[13]中陈述并给出该定理的一个简略证明。但笔者认为[13]中的证明的思路 是行不通的，本文将给出一个完整的证明。 第一章 1.1 问题的提出 基本定义 定义 1.1. 令G是一个准有限（profinite）群，G-模M 称为离散G-模，如果它满足 以下等式 M= [ MH， H 其中H跑遍G的开（正规）子群。这等价于说：映射G × M → M 是连续的，其 中M 取离散拓扑。 假设G是一个准有限群，G-模范畴是一个拥有足够多内射对象的Abel范畴， 因此我们对G-模M 与N 可以定义ExtrG (M, N )。特别地，我们定义H r (G, M ) = ExtrG (Z, M )，当M 是一个离散G-模时，H r (G, M )还可以用连续的上链复形的方 法等价地定义。 假设G是一个准有限群，M 、N 与P 是离散G-模，我们可以定义Yoneda配对 ExtrG (M, N ) × ExtsG (P, M ) → Extr+s G (P, N )。 事实上，ExtsG (P, M )是G-模M 与P 的s-叶扩张的等价类的集合，取定其中一 个s-叶扩张 0 → M → A1 → A2 → · · · → As → P → 0， 把该长正合列分解为s个短正合列： 0 → M = B0 → A1 → B1 → 0, 0 → B1 → A2 → B2 → 0, .. . 0 → Bs−1 → As → P = Bs → 0, 对每一个短正合列取ExtG (−, N )的长正合列，分别得到以下s个边缘同态ExtrG (M, N ) = r+s r+2 ExtrG (B0 , N ) → Extr+1 G (B1 , N ) → ExtG (B2 , N ) → · · · → ExtG (Bs , N ) = 4 HENSEL域上的局部算术对偶定理 r+s r Extr+s G (P, N )，其复合给出的群同态ExtG (M, N ) → ExtG (P, N )并不依赖于等 价类代表元的选取，这给出了上述Yoneda配对。特别地，取P = Z我们得到配对 ExtrG (M, N ) × H s (G, M ) → H r+s (G, N )。 令K是一个非阿基米德局部域，令G = Gal(K s /K)和N = K s∗ 。由局部类 域论（参见[17]），我们知道H 2 (G, K s∗ ) ' Q/Z，于是配对 ExtrG (M, K s∗ ) × H 2−r (G, M ) → H 2 (G, K s∗ ) ' Q/Z 诱导出群同态 αr (G, M ) : ExtrG (M, K s∗ ) → H 2−r (G, M )∗ 。 定义 1.2. 令G是一个准有限群，C是一个离散G-模，一族以G的开子群U 为指标 的同构 invU : H 2 (U, C) → Q/Z 成为类形式（class formation） ，简记为(G, C)，如果它们满足 （1）H 1 (U, C) = 0； （2）对开子群V ⊆ U ⊆ G，下图交换 H 2 (U, C) ResV,U / H 2 (V, C) invU ' ² Q/Z invV n ' ² / Q/Z 其中n = [U : V ]。 对于类形式(G, C)，我们有互反映射recG : C G → Gab ，我们也有上述同态 αr (G, M ) : ExtrG (M, K s∗ ) → H 2−r (G, M )∗ 。 我们知道α1 (G, Z/mZ)由recG 诱导；如果G的严格上同调维数是2（例如非阿基 米德局部域的绝对Galois群），α0 (G, Z/mZ)也由recG 诱导（参见[13, I.1]），简单 的说，就是类域论给出一些αr 的信息。我们关心αr (G, M )什么时候是同构。 假 设(R, m)是 一 个 剩 余 类 域 为k = R/m的 离 散 赋 值 环，记 多 项 式f ∈ R[X]模m约化后为f¯ ∈ k[X]。 第一章 问题的提出 5 定义 1.3. 我们称R是Hensel 的，如果f ∈ R[X]是首一多项式使得f¯ = g0 h0 ∈ k[X]，其 中f0 与g0 互 素 且 均 首 一，那 么 存 在g, h ∈ R[X]使 得f = gh以 及ḡ = g0 ，h̄ = h0 。分式域K = F rac(R)称为Hensel域。 b 在这种情况下，我们称R是卓越（excellent）的，如果K是K的可分扩张， 其 b 中非阿基米德局部域K是K的完备化。 （参见[9]和[10]） 假设K是一个Hensel域，则(GK , K s∗ )是一个类形式，我们仍然有类似的局 b s /K) b （参见定 部类域论（参见定理2.6），而且我们还知道Gal(K s /K) ' Gal(K 理2.7）。因而，把非阿基米德局部域K换成Hensel域，本节在此之前的讨论依然 成立，仍然有同态αr (G, M )。 1.2 问题的提出 定 理 1.1. 令K为 非 阿 基 米 德 局 部 域，G = Gal(K s /K)，假 设M是 一 个（作 为Abel群）有限生成的离散G-模。那么，对r > 1， αr (G, M ) : ExtrG (M, K s∗ ) → H 2−r (G, M )∗ 是同构。 ' [ G (M, K s∗ ) → b0 (G, M ) : Hom H 2 (G, M )∗，完 同态α0 (G, M )诱导拓扑群同构1 α 备化c可以省略若M 有限。 如果M 无char(K)-扭，则Ext1G (M, K s∗ )和H 1 (G, M )均有限。 如果M 有限，而且其阶不被char(K)整除，则上述所有群均为有限群。 证明. 更为详细的讨论参见本文附录，完整证明参见[13, I.2.1]，思路是利用局 部类域论得到α0 (G, Z/mZ)和α1 (G, Z/mZ)的信息，然后使用由同调代数方法 证明的[13, I.1.8]。但注意证明最后一步取准有限完备化时[13]的证明中使用命 题[13, I.0.20] 是不足以说明完备化后仍然得到正合序列，关于这一步，参见[6]的 附录，使用了非阿基米德局部域的拓扑性质（然而这些性质Hensel域是不具有 的）。 b = lim H/N 其中N 跑遍H的所有有 [ G (M, K s∗ )表示HomG (M, K s∗ )的准有限完备化，即H 此处Hom ←−N 限指标的正规开子群。 1 6 HENSEL域上的局部算术对偶定理 引理 1.2. 令G是一个准有限群，M, N 是离散G-模。如果M 作为Abel群是有限生 成的，那么Exts (M, N )也是一个离散G-模，而且我们有收敛的谱序列 H r (G, Exts (M, N )) ⇒ Extr+s G (M, N )。 证明. 证明仅用到纯粹的同调代数，参见[13, I.0]。 推论 1.3. 在定理的假设条件下，如果M 无char(K)-扭，则有同构 ' H r (G, M D ) → H 2−r (G, M )∗ , ∀r > 1 和 ' b 0 (G, M D ) → H H 2 (G, M )∗， 其中M D = Hom(M, K s∗ )。 H 1 (G, M )和H 1 (G, M D )均有限。如果M 有限，那 b 0 (G, M D ) = H 0 (G, M D )也有限。 么H 证明. 由 于M 是 有 限 生 成 的，M D 也 是 一 个 离 散G-模。根据 上 述 定 理，我 们 只需要证明ExtrG (M, K s∗ ) ' H r (G, M D )。 注意到对所有素数l 6= char(K)， K s∗ 是l可除的，于是对于s > 1， Exts (M, K s∗ ) = 0。 于是谱序列 s∗ H r (G, Exts (M, K s∗ )) ⇒ Extr+s G (M, K ) 给出我们所需要的同构。 我 们 希 望 把 上 述 算 术 对 偶 定 理 中 的 非 阿 基 米 德 局 部 域K换 成 更 一 般 的Hensel域，事实上，我们有以下定理： 定理 1.4. 令R为Hensel的卓越的离散赋值环，而且其剩余类域有限，其分式域 为K，记G = Gal(K s /K)。假设M 是一个（作为Abel群）有限生成的离散G-模， 而且M 无char(K)-扭，那么 b0 (G, M ) : 对 于r > 1， αr (G, M )是 同 构。α0 (G, M )诱 导 了 拓 扑 群 同 构α ' [ G (M, K s∗ ) → Hom H 2 (G, M )∗， 完备化c可以省略若M 有限。 Ext1G (M, K s∗ )和H 1 (G, M )均有限。 如果M 有限，则上述所有群均为有限群。 第一章 问题的提出 7 推论 1.5. 在定理的假设条件下，我们有同构 ' H r (G, M D ) → H 2−r (G, M )∗ , ∀r > 1 和 ' b 0 (G, M D ) → H H 2 (G, M )∗， 其中M D = Hom(M, K s∗ )。 H 1 (G, M )和H 1 (G, M D )均有限。如果M 有限，那 b 0 (G, M D ) = H 0 (G, M D )也有限。 么H 证明. 可以由与推论1.3相同的方法由定理和谱序列得出。 问题. 文献[13, I.2.14]陈述了上述关于Hensel域的定理，并给出一个简短的证明。 该证明希望利用Hensel域的类域论和[13, I.1.8]得出上述结论。笔者猜测2 原 文希望模仿[13, I.2.1] （即本文中定理1.1）的证明（参见本文附录）。这里存 在的问题是，在Hensel域的情况下，如果char(K) = p 6= 0，那么类域论只能 给出p部分以外的信息。而利用同调代数证明的[13, I.1.8]（即本文附录A.1） 其中关键一步是：取G的开子群H，使得H平凡作用在M 上，然后利用短正合 列0 → M → IndG H M → Coker → 0和群上同调的Shapiro引理。但是当M 没 有p-扭的时候，并不能保证Coker也没有p-扭。这正是希望证明Hensel域情形时 要使用[13, I.1.8]所遇到的困难。而在局部域情形，局部类域论给出的信息并不 需要躲避p部分，所以无需考虑Coker是否带p-扭（注意上述两个定理的陈述， 局部域情形对偶性并不需要对p-扭有任何假设，仅仅是有限性才需要无p-扭的 假设；而Hensel域情形，对偶性的成立也必须假设无p-扭）。另外，在取准有限 完备化时，需要用到一些局部域具有而Hensel域不具有的拓扑性质，例如局部 紧， （参见本文附录的证明以及[6, Appendix]）才能保证准有限完备化正合列后 仍然得到正合列。因而Hensel域的情形似乎难以直接模仿非阿基米德局部域的 情形给出证明。 上述陈述的这些理由表明文献[13]对定理1.4 的证明并不清晰，本文的目 的在于给出定理1.4一个完整的证明。主要思路是利用已知的定理1.1的结论， 2 原文并没有明确给出完整的证明。 8 HENSEL域上的局部算术对偶定理 然后在无p-扭的假设下，等同局部域和Hensel域两种情况下所牵涉的上同调群 和Ext群。 接下来一章讨论一些相关的预备知识，例如Hensel域的一些性质。最后一 章中将给出定理1.4的证明。附录中参考[13]收录了非阿基米德局部域算术对偶 定理的一个简略的证明。 第二章 一些预备知识 b K分别 b 在本章中，我们始终假设R是一个离散赋值环，其分式域为K， R和 b R的分式域， b b 是他们的完备化，我们知道K是 而且K是一个非阿基米德局部域。 2.1 Greenberg逼 逼近 定 理 b b b 假设X是一个R上有限型的仿射概形，R有理点集合X( R)带有由 R的完备离 b b 我 散赋值拓扑诱导的拓扑，X(R) ⊆ X(R)取诱导子拓扑。对于X(K)和X( K)， 们有相同的约定。 定理 2.1 (Greenberg). 假设X是一个R上有限型的仿射概形。如果R是Hensel的 b b b 卓越的，那么X(R)在X(R)中稠密，其中X( R)取由 R的拓扑自然诱导的拓扑。 证明. 参见[4]。 引理 2.2 (Nagata). 假设X是一个R上有限型的仿射概形，那么，存在R-概形 的开浸入j : X → X̄使得X的象在X̄中Zariski稠密，而且X̄是一个R上有限型的 合适的（proper）概形。 证明. 参见[14]或者[12]。 命 题 2.3. 假 设X是 一 个R上 有 限 型 的 概 形。如 果R是Hensel的 卓 越 的， 那 b b 么X(K)在X(K)中稠密 （由K诱导的拓扑） 。 b 证明. 通过取X的开仿射覆盖，根据定理2.1，我们得到X(R)在X(R)中稠密。如 b = 果X在R上合适（proper），那么由赋值判别法则得到X(R) = X(K)以及X(R) b 于是X(K)在X(K)中稠密。 b X(K)， 一般地，由引理2.2，我们有紧化j : X → X̄。 b b 的开子 因为X̄是合适的（proper），所以X̄(K)在X̄(K)中稠密。限制到 X̄(K) b b b 中稠密。 集X(K)上， 我们因而得到X(K) = X̄(K) ∩ X(K)在X( K) b b 推论 2.4. 假设X是一个K上有限型的仿射概形，那么X(K)在X(K)中稠密 （由K诱 导的拓扑） 。 10 HENSEL域上的局部算术对偶定理 证明. 为了应用上述命题的结论，我们只需要证明存在X的于R上的一个模 型X0 ，更确切的说，即寻找有限型的R-概形X0 使得其一般纤维K-同构于X，于 b = X(K)。 b 是我们有X0 (K) = X(K)以及X0 (K) 事实上，由于X于K上是有 限型的，于是可以把X写成K上某个仿射空间AnK 的闭子概形，由有限个系数 在K中的多项式定义。乘以所有系数的分母的最小公倍数，我们得到一组（有 限个）系数在R中的多项式，他们定义了R上仿射空间AnR 的一个闭子概形，记 为X0 。则X0 → Spec(R)是有限型的，而且X0 ×Spec(R) Spec(K) ' X，即X0 是我 们寻找的模型。 注 1. （1）注意到证明中我们仅需要X的一个在R上有限型的模型，因此这个推 论对所有K上有限型的拟射影概形均成立。例如，对K上的Abel簇也成立。 （2）我们仅对K上有限型的仿射群概形使用上述推论。 \ \ → X( b 推论 2.5. 假设X是一个K上有限型的仿射群概形，那么X(K) K)是一个 拓扑群的同构。 （其中顶部的c表示取拓扑群的准有限完备化1 ） b 证明. 任取U 为X(K)的开子群，于是X(K) ∩ U 为X(K)的开子群。根据上述推 b 论，X(K)于X(K)中稠密， 于是 b X(K)/X(K) ∩ U ' X(K)U/U = X(K)/U。 b 因而，U 在X(K)中是有限指标的当且仅当X(K) ∩ U 在X(K)中是有限指标的。 \ \ ' X( b 于是，由准有限完备化的定义马上得到X(K) K)。 2.2 Hensel域 域的 类 域 论 绝大多数局部类域论的结论都可以推广到Hensel域上，本节中K为Hensel域， 假设其剩余类域有限，记GK = Gal(K s /K)。 定理 2.6. (GK , K s∗ )是一个类形式（class formation） ，我们有互反映射 recK : K ∗ → Gab K， 对K的所有有限Abel扩张F，它诱导了同构 ' K ∗ /NF/K F ∗ → Gal(F/K)。 1 b = lim H/N 其中N 跑遍H的所有有限指标的正规开子群。 即H ←−N 第二章 一些预备知识 11 证明. 参见[13, I.Appendix]。 定理 2.7. 假设Hensel的卓越的离散赋值环R的剩余类域有限，那么 b （1）所有K的有限可分扩张均具有 Fb的形式，其中F 是K的有限可分扩张， b 而且[F : K] = [Fb : K]; b b （2）域K于K中代数闭， 因此K的代数闭包与K于K上线性地不连接 （linearly disjoint） 。 b 因而，F 7→ Fb给出了从K的有限可分扩张的集合到K的有限可分扩张的集 合之间的一个双射，从而，GK ' GKb 。 证明. （证明参考[13, I.Appendix]） b b （1）对于K的任一有限可分扩张L， 令L = K(α)， 我们取F = K(β)其 中β是一个系数在K中且足够接近α的极小多项式的多项式的根，则由Krasner引 理（参见[8, II.2]）得L = Fb。 b b （2）假设K于K中不是代数闭的，则存在α ∈ K与R上整但又不在R中，令 b b 即f (X)于R中有 b 其与K上的极小多项式为f (X)。由于α于R上整，于是α ∈ R， 解，根据Greenberg逼近定理2.1，f 于R中也有解，但由f 的取法，f 是K上的不可 b b 约多项式，矛盾。因此，K于K中是代数闭的。 另一方面R是卓越的，K是K的可 b 分扩张，于是K的代数闭包与K于K上线性地不连接（linearly disjoint） （参见[7, III.1]）。 由局部类域论以及Hensel域的类域论，我们得到以下交换图，其中各行均 正合 0 / R× 0 ² /R b× i / K∗ recK ord ² ab / Gab b = GK K /Z /0 ² /Z b /0 根据蛇形引理，我们得到正合列 b → 0。 b× /R× → coker(recK ) → Z/Z 0→R 命题 2.8. 如果R是卓越的（而且剩余类域有限） ，则对于素数l 6= char(K)，coker(recK )是l唯一可除的，即“乘l”映射是同构。 12 HENSEL域上的局部算术对偶定理 b b× /R× 是唯一 证明. 由于Z/Z总是l-唯一可除的， 因此由蛇形引理易归结为证明R b 可除的。由上述命题，K在K中是代数闭的， 于是得到“唯一”。为证可除性，考 b× 。如果|1 − a| b < |l|2 ，那么由Hensel 引理知存在x ∈ 虑f = X l − a，其中a ∈ R b K K × b 是f 的根。注意到l 6= char(K)，于是U = {a ∈ R b× ; |1 − a| b < |l|2 } 是R b× 的一 R K b K b× 中 个非空开子集，而且U ⊆ (R ) 。对Gm 应用Greenberg逼近定理2.1，R× 于R b× 均存在b0 ∈ R× 使得a = b/b0 ∈ U。即有x ∈ R b× 使 稠密，于是对于任一b ∈ R b× l b× /R× 是l-可除的。 得xl = a = b/b0 ，R b ∗ /K ∗ 是n-唯一可除的， 注 2. 用相同的方法，我们可以证明如果char(K) - n则K b ∗ /K b ∗n 。 由此推出K ∗ /K ∗n ' K 第三章 Hensel域 域上 算 术 对 偶 定 理 的 证 明 本章我们将证明定理1.4。 引理 3.1. 假设(G, C)是一个类形式（class formation） ，M 是一个（作为Abel群） 有限生成的离散G-模，那么对r > 2，映射 αr (G, M ) : ExtrG (M, C) → H 2−r (G, M )∗ 是双射；α1 (G, M )也是双射，如果M 是无扭的。 证明. 证明只用到同调代数的知识，证明概要参见本文附录，完整证明参见[13, I.1.8]。 b 局部对偶定理1.1成立。而 定理1.4的证明. 我们已知对于非阿基米德局部域K， b s /K) b ' Gal(K s /K)，在假设条件 定理2.7告诉我们G = Gal(K （1）R是Hensel的卓越的，其剩余类于有限; （2）M 无char(K)-扭； 我们将证明 b s∗ ), ∀r > 1 ExtrG (M, K s∗ ) ' ExtrG (M, K 以及 b s∗ )， [ G (M, K s∗ ) ' Hom [ G (M, K Hom 因而Hensel域的对偶定理由非阿基米德局部域的对偶定理直接得到。 由 上 一 章 的 注2，我 们 知 道 对K的 任 何 有 限 可 分 扩 张L和 任 意 素 数l 6= b∗ /L∗ 是l-唯一可除的，根据定理2.7（1）取正向极限得到K b s∗ /K s∗ 也 char(K)， L 是l-唯一可除的。由于M 是有限生成的Abel群而且不带char(K)-扭，从而， b s∗ /K s∗ ) = 0, ∀s > 1。 Exts (M, K 然而，我们有谱序列 b s∗ /K s∗ )， b s∗ /K s∗ )) ⇒ Extr+s (M, K H r (G, Exts (M, K G 14 HENSEL域上的局部算术对偶定理 于是，我们得到 b s∗ /K s∗ )) = Extr (M, K b s∗ /K s∗ ), ∀r。 H r (G, Hom(M, K G b s∗ /K s∗ 的l-唯一可除性，我们得 如果M 是有限的，由它无char(K)-扭以及K 到 b s∗ /K s∗ ) = 0。 Hom(M, K 于是， b s∗ /K s∗ ) = 0, ∀r。 ExtrG (M, K 考虑短正合列 b s∗ → K b s∗ /K s∗ → 1， 1 → K s∗ → K 取其Ext长正合序列，我们马上得到 b s∗ ), ∀r ExtrG (M, K s∗ ) ' ExtrG (M, K 若M 有限。 如果M 是无扭的，注意到G = GK ' GKb ，由引理3.1以及定理1.1，我们得到 b s∗ ) ExtrG (M, K s∗ ) ' H 2−r (G, M )∗ ' ExtrG (M, K 对所有r > 1成立。 一般地，考虑短整合列 0 → Mt → M → M/Mt → 0， b s∗ )长正合列以及五引理给出同构 其ExtG (−, K s∗ )长正合列、ExtG (−, K b s∗ )∀r > 1。 ExtrG (M, K s∗ ) ' ExtrG (M, K b s∗ )分别是K上的仿射群概 而对于r = 0，注意到HomG (M, K s∗ )和HomG (M, K b 形Spec((K s [M ])G )的K-有理点集合和K-有理点集合（参见[19]） ，根据推论2.5， 它们的准有限完备化作为拓扑群同构， b s∗ )。 [ G (M, K s∗ ) ' Hom [ G (M, K Hom 综上，我们完成了证明。 附录 A 局部算术对偶定理的简略证明 为了讨论Hensel域情形的算术对偶定理的证明能否直接模仿非阿基米德局 部域算术对偶定理的证明，本附录给出非阿基米德局部域上算术对偶定理1.1的 一个简略的证明，此证明参考[13, I.2]。 引理 A.1. 假设(G, C)是一个类形式（class formation） ，M 是一个（作为Abel群） 有限生成的离散G-模，那么 （1）对r > 2，映射 αr (G, M ) : ExtrG (M, C) → H 2−r (G, M )∗ 是双射；α1 (G, M )也是双射，如果M 是无扭的。特别地，对r > 3， ExtrG (M, C) = 0； （2）如果对任意整数m以及任意G的开子群U， α1 (U, Z/mZ)是双射，那 么α1 (G, M ) : Ext1G (M, C) → H 1 (G, M )∗ 也是双射； （3）如果对任意整数m以及任意G的开子群U， α0 (U, Z/mZ)是满射（相应 地，双射） ，那么对有限G-模M， α0 (G, M ) : Ext0G (M, C) → H 2 (G, M )∗ 也是满 射（相应地，双射） 。 证明概要（参考[13]）. 首先由类形式的定义可以得到，对于任意整数m，我们有m|ord(G)，其 中ord(G)是准有限群G的阶（取值为超自然数（supernatural number）），由 此可以证明对于r > 4， ExtrG (M, C) = 0 （用到类形式的Tate-Nakayama引 理）。然后利用数学归纳法。引理的假设条件给出平凡G-模的同态α的信息。 对一般的离散G-模M ，取G的开子群U 使得M 是平凡U -模，然后考虑短正合 列0 → M → IndG U M → Coker → 0相应的Ext长正合列和上同调长正合列，利 用群上同调的Shapiro引理以及同调代数交换图追踪完成归纳法证明。 完整的证明参考[13, I.1]。 定义 A.1. 令G是一个准有限群，称G的严格上同调维数是n（可能是正无穷）， 如果n是使得以下性质满足的最大整数：对任意r > n以及任意离散G-模M ， H r (G, M ) = 0。 16 HENSEL域上的局部算术对偶定理 引理 A.2. 令G为一个非阿基米德局部域的绝对Galois群，则G的严格上同调维 数是2。 证明. 参见[15]或者[1]。 定理1.1（非阿基米德局部域的算术对偶定理）的证明概要（参考[13]）. 首先利用谱序列以及对一些简单的G-模的计算，我们得出结论中的各个群 的有限性，此处省略此部分的详细证明，关于有限性的证明参考[13, I.2]。 域K是非阿基米德局部域，其绝对Galois群为G。局部类域论告诉我们(G, K s∗ )是 一个类形式，于是有互反映射recK : K ∗ → Gab 以及αr (G, M )。由引理，G的严 格上同调维数是2，由此我们可以验证1 α0 (G, Z/mZ) = recm : µm (K) → (Gab )m 和 α1 (G, Z/mZ) = rec(m) : K ∗ /K ∗m → (Gab )(m) 。 b 局部类域论还告诉我们互反映射rec是单射，而且coker(rec) ' Z/Z是一个唯 一可除群，于是上述两个同态均是同构。把G换成任意开子群U ，我们仍然有 相同的论断。我们可以应用引理A.1，于是我们只剩下当M 不是有限模时关 b0 (G, M )的论断需要证明。 于α c∗ → Gab（准有限完备化）是一个拓扑群同构， c :K 局部类域论还告诉我们rec b0 (G, Z)是同构，由此，我们知道对于（作为Abel群）有限生成的平凡G-模M ， 即α b0 (G, M )是同构。我们取G的平凡作用于M 上的开子群U ，令M∗ = IndG α UM，考 虑短正合序列0 → M → M∗ → M1 → 0诱导的长正合列（注意使用Shapiro引 理） 0 / HomG (M1 , K s∗ ) 0 ² / H 2 (G, M1 )∗ α0 (G,M1 ) / HomU (M, K s∗ ) / HomG (M, K s∗ ) α0 (U,M ) α0 (G,M ) ² / H 2 (U, M )∗ ² / H 2 (G, M )∗ / Ext1 (M1 , K s∗ ) G α1 (G,M1 ) ² / H 1 (G, M1 )∗ . 我 们 对 整 个 交 换 图 取 准 有 限 完 备 化，注 意 到 第 二 行 里 出 现 的 项 都 是 扭 群 的Pontryagin对偶群，于是都是准有限的，从而取准有限完备化后不变，而证明 1 对任意Abel群A，我们记An = ker(n : A → A)和A(n) = coker(n : A → A) = A/nA，Abel群的同 0 态φ : A → A0 诱导群同态φn : An → A0n 和φ(n) : A(n) → A (n) 。 附录 A 局部算术对偶定理的简略证明 17 的开头说明了第一行第四项是有限群，因此准有限完备化后也不变。于是我们 得到以下交换图： 0 0 / Hom \ (M , K s∗ ) / Hom \ (M, K s∗ ) / Hom \ (M, K s∗ ) / Ext1 (M1 , K s∗ ) α b0 (G,M1 ) α b0 (U,M ) α b0 (G,M ) α1 (G,M1 ) G 1 ² / H 2 (G, M1 )∗ U ² / H 2 (U, M )∗ G ² / H 2 (G, M )∗ G ² / H 1 (G, M1 )∗ . 其中第一行仍然保持正合是因为：HomG (M, K s∗ )（其他两项同理）是K上仿射 群概形X = Spec((K s [M ])G )的K-有理点集合X(K)，而X的单位连通分支X 0 是 一个K上的约化代数群，对于非阿基米德局部域K和这样的代数群X， X(K)是 一个局部紧的、Hausdorff的、完全不连通的、紧生成的拓扑群（参见[16]），然 而对于由这样的群组成的正合序列，取准有限完备化后仍保持正合（参见[6, b0 (U, M )是同构，于 Appendix]）。我们现在已经知道α1 (U, M )、 α1 (G, M1 )和α b0 (G, M1 ) 也是满射，从而再次 b0 (G, M )是满射，这对任何G-模M 成立，于是α 是α b0 (G, M )是单射。 追踪交换图得到α 参考文献 [1] A. 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Springer-Verlag, 1979. 致 谢 值此论文完成之际，谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师、同学、朋 友和家人表示衷心的感谢！ 特别地，郑重地感谢徐飞老师，感谢他在科学院期间对我的指导和他对我 出国留学深造的鼓励和推荐。感谢在科学院期间李克正老师和田野老师对我的 教育培养。最后感谢D.Harari教授推荐给我算术对偶定理这个有趣的主题。