Yongqi Liang 梁 永祺 - Professional Homepage 个人主页.pdf

Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnels —dirigée par David HARARI LIANG, Yong Qi Université de Paris-Sud XI, Orsay France Journée des doctorants 11/01/2010 LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Questions Famille d’équations    f1 (X1 , · · · , Xn ) = 0 .. .   fr (X1 , · · · , Xn ) = 0 fi ∈ Q[X1 , . . . , Xn ], 1 6 i 6 r Questions : Y a-t-il des solutions sur Q ? Combien de solutions sur Q ? LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Questions Famille d’équations    f1 (X1 , · · · , Xn ) = 0 .. .   fr (X1 , · · · , Xn ) = 0 fi ∈ Q[X1 , . . . , Xn ], 1 6 i 6 r Questions : Y a-t-il des solutions sur Q ? Combien de solutions sur Q ? LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Questions Famille d’équations    f1 (X1 , · · · , Xn ) = 0 .. .   fr (X1 , · · · , Xn ) = 0 fi ∈ Q[X1 , . . . , Xn ], 1 6 i 6 r Questions : Y a-t-il des solutions sur Q ? Combien de solutions sur Q ? LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Interprétation géométrique La langue de géométrie algébrique Problème algébrique ! Problème géométrique une famille d’équations de coefficient dans Q ! une variété algébrique X sur Q ses solutions sur Q ! l’ensemble des points rationnels X (Q) Questions ? X (Q) 6= ∅ ? X (Q) est gros ou petit (s’il n’est pas vide) ? LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Interprétation géométrique La langue de géométrie algébrique Problème algébrique ! Problème géométrique une famille d’équations de coefficient dans Q ! une variété algébrique X sur Q ses solutions sur Q ! l’ensemble des points rationnels X (Q) Questions ? X (Q) 6= ∅ ? X (Q) est gros ou petit (s’il n’est pas vide) ? LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Interprétation géométrique La langue de géométrie algébrique Problème algébrique ! Problème géométrique une famille d’équations de coefficient dans Q ! une variété algébrique X sur Q ses solutions sur Q ! l’ensemble des points rationnels X (Q) Questions ? X (Q) 6= ∅ ? X (Q) est gros ou petit (s’il n’est pas vide) ? LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Interprétation géométrique La langue de géométrie algébrique Problème algébrique ! Problème géométrique une famille d’équations de coefficient dans Q ! une variété algébrique X sur Q ses solutions sur Q ! l’ensemble des points rationnels X (Q) Questions ? X (Q) 6= ∅ ? X (Q) est gros ou petit (s’il n’est pas vide) ? LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Les corps locaux Q = l’ensemble de nombres rationnels Pour p un nombre premier ou p = ∞, on a un corps Qp ou Q∞ = R tel que (a)Qp est muni d’une topologie complète. (b)Q ⊂ Qp est dense. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Les corps locaux Q = l’ensemble de nombres rationnels Pour p un nombre premier ou p = ∞, on a un corps Qp ou Q∞ = R tel que (a)Qp est muni d’une topologie complète. (b)Q ⊂ Qp est dense. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Les corps locaux Q = l’ensemble de nombres rationnels Pour p un nombre premier ou p = ∞, on a un corps Qp ou Q∞ = R tel que (a)Qp est muni d’une topologie complète. (b)Q ⊂ Qp est dense. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Les corps locaux Q = l’ensemble de nombres rationnels Pour p un nombre premier ou p = ∞, on a un corps Qp ou Q∞ = R tel que (a)Qp est muni d’une topologie complète. (b)Q ⊂ Qp est dense. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Le principe de Hasse À partir de maintenant, on suppose que X/Q est une variété projective (associée à une famille d’équations {fi ∈ Q[X1 , . . . , Xn ]; 1 6 i 6 r }) un fait évident : une famille d’équations a des solutions dans Q ⇒ elle a des solutions dans Qp (resp. R) Plus précisément : X (Q) ,→ X (Qp ). X (Q) ⊂ Y X (Qp ) = X (AQ ) p X (AQ ) = ∅ ⇒ X (Q) = ∅ LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Le principe de Hasse À partir de maintenant, on suppose que X/Q est une variété projective (associée à une famille d’équations {fi ∈ Q[X1 , . . . , Xn ]; 1 6 i 6 r }) un fait évident : une famille d’équations a des solutions dans Q ⇒ elle a des solutions dans Qp (resp. R) Plus précisément : X (Q) ,→ X (Qp ). X (Q) ⊂ Y X (Qp ) = X (AQ ) p X (AQ ) = ∅ ⇒ X (Q) = ∅ LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Le principe de Hasse À partir de maintenant, on suppose que X/Q est une variété projective (associée à une famille d’équations {fi ∈ Q[X1 , . . . , Xn ]; 1 6 i 6 r }) un fait évident : une famille d’équations a des solutions dans Q ⇒ elle a des solutions dans Qp (resp. R) Plus précisément : X (Q) ,→ X (Qp ). X (Q) ⊂ Y X (Qp ) = X (AQ ) p X (AQ ) = ∅ ⇒ X (Q) = ∅ LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Le principe de Hasse À partir de maintenant, on suppose que X/Q est une variété projective (associée à une famille d’équations {fi ∈ Q[X1 , . . . , Xn ]; 1 6 i 6 r }) un fait évident : une famille d’équations a des solutions dans Q ⇒ elle a des solutions dans Qp (resp. R) Plus précisément : X (Q) ,→ X (Qp ). X (Q) ⊂ Y X (Qp ) = X (AQ ) p X (AQ ) = ∅ ⇒ X (Q) = ∅ LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Le principe de Hasse À partir de maintenant, on suppose que X/Q est une variété projective (associée à une famille d’équations {fi ∈ Q[X1 , . . . , Xn ]; 1 6 i 6 r }) un fait évident : une famille d’équations a des solutions dans Q ⇒ elle a des solutions dans Qp (resp. R) Plus précisément : X (Q) ,→ X (Qp ). X (Q) ⊂ Y X (Qp ) = X (AQ ) p X (AQ ) = ∅ ⇒ X (Q) = ∅ LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Le principe de Hasse et l’approximation faible Question : ? X (AQ ) 6= ∅ ⇒ X (Q) 6= ∅ Définition On dit qu’une variété projective X/Q satisfait le principe de Hasse si X (AQ ) 6= ∅ ⇒ X (Q) 6= ∅; elle satisfait l’approximation faible si X (Q) ⊂ X (AQ ) est dense. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Le principe de Hasse et l’approximation faible Question : ? X (AQ ) 6= ∅ ⇒ X (Q) 6= ∅ Définition On dit qu’une variété projective X/Q satisfait le principe de Hasse si X (AQ ) 6= ∅ ⇒ X (Q) 6= ∅; elle satisfait l’approximation faible si X (Q) ⊂ X (AQ ) est dense. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Exemples du PH et de l’AF Minkowski : X , définie par a1 X12 + · · · + an Xn2 = 0, ai ∈ Q∗ satisfait le principe de Hasse. Théorie des corps de classes : X =une variété de Severi-Brauer (X ×Q Q̄ ' Pn ), satisfait le principe de Hasse et l’approximation faible. Contre-exemple. Selmer : X , définie par 3X13 + 4X23 + 5X33 = 0, ne satisfait pas le principe de Hasse. ∅ = X (Q) ⊂ X (A) 6= ∅ Pourquoi ? Comment l’expliquer ? Réponse : l’Obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Exemples du PH et de l’AF Minkowski : X , définie par a1 X12 + · · · + an Xn2 = 0, ai ∈ Q∗ satisfait le principe de Hasse. Théorie des corps de classes : X =une variété de Severi-Brauer (X ×Q Q̄ ' Pn ), satisfait le principe de Hasse et l’approximation faible. Contre-exemple. Selmer : X , définie par 3X13 + 4X23 + 5X33 = 0, ne satisfait pas le principe de Hasse. ∅ = X (Q) ⊂ X (A) 6= ∅ Pourquoi ? Comment l’expliquer ? Réponse : l’Obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Exemples du PH et de l’AF Minkowski : X , définie par a1 X12 + · · · + an Xn2 = 0, ai ∈ Q∗ satisfait le principe de Hasse. Théorie des corps de classes : X =une variété de Severi-Brauer (X ×Q Q̄ ' Pn ), satisfait le principe de Hasse et l’approximation faible. Contre-exemple. Selmer : X , définie par 3X13 + 4X23 + 5X33 = 0, ne satisfait pas le principe de Hasse. ∅ = X (Q) ⊂ X (A) 6= ∅ Pourquoi ? Comment l’expliquer ? Réponse : l’Obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Exemples du PH et de l’AF Minkowski : X , définie par a1 X12 + · · · + an Xn2 = 0, ai ∈ Q∗ satisfait le principe de Hasse. Théorie des corps de classes : X =une variété de Severi-Brauer (X ×Q Q̄ ' Pn ), satisfait le principe de Hasse et l’approximation faible. Contre-exemple. Selmer : X , définie par 3X13 + 4X23 + 5X33 = 0, ne satisfait pas le principe de Hasse. ∅ = X (Q) ⊂ X (A) 6= ∅ Pourquoi ? Comment l’expliquer ? Réponse : l’Obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Exemples du PH et de l’AF Minkowski : X , définie par a1 X12 + · · · + an Xn2 = 0, ai ∈ Q∗ satisfait le principe de Hasse. Théorie des corps de classes : X =une variété de Severi-Brauer (X ×Q Q̄ ' Pn ), satisfait le principe de Hasse et l’approximation faible. Contre-exemple. Selmer : X , définie par 3X13 + 4X23 + 5X33 = 0, ne satisfait pas le principe de Hasse. ∅ = X (Q) ⊂ X (A) 6= ∅ Pourquoi ? Comment l’expliquer ? Réponse : l’Obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Obstruction de Brauer-Manin 2 (X , G ) Le groupe de Brauer : (Grothendieck) Br (X ) = Hét m est un invariant cohomologique de X . sous-ensemble de Brauer-Manin X (A)Br de X (A) X (Q) ⊂ X (A)Br ⊂ X (A) Si X (A)Br = ∅, l’absence d’un Q-point rationnel est bien expliquée par l’obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Obstruction de Brauer-Manin 2 (X , G ) Le groupe de Brauer : (Grothendieck) Br (X ) = Hét m est un invariant cohomologique de X . sous-ensemble de Brauer-Manin X (A)Br de X (A) X (Q) ⊂ X (A)Br ⊂ X (A) Si X (A)Br = ∅, l’absence d’un Q-point rationnel est bien expliquée par l’obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Obstruction de Brauer-Manin 2 (X , G ) Le groupe de Brauer : (Grothendieck) Br (X ) = Hét m est un invariant cohomologique de X . sous-ensemble de Brauer-Manin X (A)Br de X (A) X (Q) ⊂ X (A)Br ⊂ X (A) Si X (A)Br = ∅, l’absence d’un Q-point rationnel est bien expliquée par l’obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Obstruction de Brauer-Manin 2 (X , G ) Le groupe de Brauer : (Grothendieck) Br (X ) = Hét m est un invariant cohomologique de X . sous-ensemble de Brauer-Manin X (A)Br de X (A) X (Q) ⊂ X (A)Br ⊂ X (A) Si X (A)Br = ∅, l’absence d’un Q-point rationnel est bien expliquée par l’obstruction de Brauer-Manin. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Obstruction de BM Exemple de Selmer : X : 3X13 + 4X23 + 5X33 = 0, on a X (A)Br = ∅, le fait que X (Q) = ∅ est donc expliqué par l’obstruction de Brauer-Manin. Définition On dit que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule à l’existence des points rationnels si X (A)Br 6= ∅ ⇒ X (Q) 6= ∅; on dit que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule à l’approximation faible si X (Q) est dense dans X (A)Br . LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Obstruction de BM Exemple de Selmer : X : 3X13 + 4X23 + 5X33 = 0, on a X (A)Br = ∅, le fait que X (Q) = ∅ est donc expliqué par l’obstruction de Brauer-Manin. Définition On dit que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule à l’existence des points rationnels si X (A)Br 6= ∅ ⇒ X (Q) 6= ∅; on dit que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule à l’approximation faible si X (Q) est dense dans X (A)Br . LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Situation pour une courbe X = une courbe=une courbe (projective) géométriquement intègre lisse, g = g (X ) = dimH 0 (X , Ω) le genre de X . Si g = 0, X satisfait le principe de Hasse. Théorème (Manin) Si g = 1, l’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence des points rationnels sur X (en supposant que X(Jac(X )) soit fini). Conjecture (Skorobogatov) L’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence des points rationnels sur tout courbe projective X (en supposant que X(Jac(X )) soit fini). LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Situation pour une courbe X = une courbe=une courbe (projective) géométriquement intègre lisse, g = g (X ) = dimH 0 (X , Ω) le genre de X . Si g = 0, X satisfait le principe de Hasse. Théorème (Manin) Si g = 1, l’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence des points rationnels sur X (en supposant que X(Jac(X )) soit fini). Conjecture (Skorobogatov) L’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence des points rationnels sur tout courbe projective X (en supposant que X(Jac(X )) soit fini). LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Situation pour une courbe X = une courbe=une courbe (projective) géométriquement intègre lisse, g = g (X ) = dimH 0 (X , Ω) le genre de X . Si g = 0, X satisfait le principe de Hasse. Théorème (Manin) Si g = 1, l’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence des points rationnels sur X (en supposant que X(Jac(X )) soit fini). Conjecture (Skorobogatov) L’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence des points rationnels sur tout courbe projective X (en supposant que X(Jac(X )) soit fini). LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Situation pour une courbe X = une courbe=une courbe (projective) géométriquement intègre lisse, g = g (X ) = dimH 0 (X , Ω) le genre de X . Si g = 0, X satisfait le principe de Hasse. Théorème (Manin) Si g = 1, l’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence des points rationnels sur X (en supposant que X(Jac(X )) soit fini). Conjecture (Skorobogatov) L’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence des points rationnels sur tout courbe projective X (en supposant que X(Jac(X )) soit fini). LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Zéro-cycles de degré 1 Un théorème de Faltings dit que, pour une courbe de genre > 2, il n’y a pas beaucoup de points rationnels sur Q. On va considérer les zéro-cycles de degré 1 Définition Soit X une Lvariété projective, le groupe abélien libre Z0 (X ) = P Z · P engendré par l’ensemble des points fermés P de X est dit le groupe des zéro-cycles de X . deg : Z0 (X ) −→ Z; z = P i ni Pi 7→ P i ni [Q(Pi ) : Q] En particulier, un point rationnel P ∈ X (Q) est un zéro-cycle de degré 1. Il y a beaucoup plus de zéro-cycles de degré 1 que de points rationnels. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Zéro-cycles de degré 1 Un théorème de Faltings dit que, pour une courbe de genre > 2, il n’y a pas beaucoup de points rationnels sur Q. On va considérer les zéro-cycles de degré 1 Définition Soit X une Lvariété projective, le groupe abélien libre Z0 (X ) = P Z · P engendré par l’ensemble des points fermés P de X est dit le groupe des zéro-cycles de X . deg : Z0 (X ) −→ Z; z = P i ni Pi 7→ P i ni [Q(Pi ) : Q] En particulier, un point rationnel P ∈ X (Q) est un zéro-cycle de degré 1. Il y a beaucoup plus de zéro-cycles de degré 1 que de points rationnels. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Zéro-cycles de degré 1 Un théorème de Faltings dit que, pour une courbe de genre > 2, il n’y a pas beaucoup de points rationnels sur Q. On va considérer les zéro-cycles de degré 1 Définition Soit X une Lvariété projective, le groupe abélien libre Z0 (X ) = P Z · P engendré par l’ensemble des points fermés P de X est dit le groupe des zéro-cycles de X . deg : Z0 (X ) −→ Z; z = P i ni Pi 7→ P i ni [Q(Pi ) : Q] En particulier, un point rationnel P ∈ X (Q) est un zéro-cycle de degré 1. Il y a beaucoup plus de zéro-cycles de degré 1 que de points rationnels. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Zéro-cycles de degré 1 Un théorème de Faltings dit que, pour une courbe de genre > 2, il n’y a pas beaucoup de points rationnels sur Q. On va considérer les zéro-cycles de degré 1 Définition Soit X une Lvariété projective, le groupe abélien libre Z0 (X ) = P Z · P engendré par l’ensemble des points fermés P de X est dit le groupe des zéro-cycles de X . P P deg : Z0 (X ) −→ Z; z = i ni Pi 7→ i ni [Q(Pi ) : Q] En particulier, un point rationnel P ∈ X (Q) est un zéro-cycle de degré 1. Il y a beaucoup plus de zéro-cycles de degré 1 que de points rationnels. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Zéro-cycles de degré 1 Un théorème de Faltings dit que, pour une courbe de genre > 2, il n’y a pas beaucoup de points rationnels sur Q. On va considérer les zéro-cycles de degré 1 Définition Soit X une Lvariété projective, le groupe abélien libre Z0 (X ) = P Z · P engendré par l’ensemble des points fermés P de X est dit le groupe des zéro-cycles de X . P P deg : Z0 (X ) −→ Z; z = i ni Pi 7→ i ni [Q(Pi ) : Q] En particulier, un point rationnel P ∈ X (Q) est un zéro-cycle de degré 1. Il y a beaucoup plus de zéro-cycles de degré 1 que de points rationnels. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Zéro-cycles de degré 1 sur une courbe Notion du principe de Hasse pour les zéro-cycles de degré 1 Notion de l’obstruction de Brauer-Manin pour les zéro-cycles de degré 1 Théorème (Saito 1989, Colliot-Thélène 1997) Soit X une courbe avec X(Jac(X )) fini. L’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence (et “l’approximation faible” à un certain sens) des zéro-cycles de degré 1 sur X . LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Zéro-cycles de degré 1 sur une courbe Notion du principe de Hasse pour les zéro-cycles de degré 1 Notion de l’obstruction de Brauer-Manin pour les zéro-cycles de degré 1 Théorème (Saito 1989, Colliot-Thélène 1997) Soit X une courbe avec X(Jac(X )) fini. L’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence (et “l’approximation faible” à un certain sens) des zéro-cycles de degré 1 sur X . LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Zéro-cycles de degré 1 sur une courbe Notion du principe de Hasse pour les zéro-cycles de degré 1 Notion de l’obstruction de Brauer-Manin pour les zéro-cycles de degré 1 Théorème (Saito 1989, Colliot-Thélène 1997) Soit X une courbe avec X(Jac(X )) fini. L’obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l’existence (et “l’approximation faible” à un certain sens) des zéro-cycles de degré 1 sur X . LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Variété de dimension > 1 Si X est une variété de dimension > 1, y a-t-il des résultats sur X? Le cas le plus simple : X −→ C une fibration sur une courbe C . Idée : Résultat précédent pour C + Méthode des fibrations LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Variété de dimension > 1 Si X est une variété de dimension > 1, y a-t-il des résultats sur X? Le cas le plus simple : X −→ C une fibration sur une courbe C . Idée : Résultat précédent pour C + Méthode des fibrations LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Variété de dimension > 1 Si X est une variété de dimension > 1, y a-t-il des résultats sur X? Le cas le plus simple : X −→ C une fibration sur une courbe C . Idée : Résultat précédent pour C + Méthode des fibrations LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Résultats récents On suppose toujours que X(Jac(C )) soit un groupe fini. Théorème (Colliot-Thélène/Skorobogatov/Swinnerton-Dyer 1998) Soit X −→ P1 une fibration avec -les hypothèses techniques -les fibres satisfont le principe de Hasse (pour les zéro-cycles de degré 1) Alors, X satisfait le principe de Hasse pour l’existence de zéro-cycles de degré 1. Théorème (Frossard 2003) Soit X −→ C une fibration en variétés de Severi-Brauer. Alors, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence de zéro-cycles de degré 1 sur X est la seule. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Résultats récents On suppose toujours que X(Jac(C )) soit un groupe fini. Théorème (Colliot-Thélène/Skorobogatov/Swinnerton-Dyer 1998) Soit X −→ P1 une fibration avec -les hypothèses techniques -les fibres satisfont le principe de Hasse (pour les zéro-cycles de degré 1) Alors, X satisfait le principe de Hasse pour l’existence de zéro-cycles de degré 1. Théorème (Frossard 2003) Soit X −→ C une fibration en variétés de Severi-Brauer. Alors, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence de zéro-cycles de degré 1 sur X est la seule. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Résultats récents On suppose toujours que X(Jac(C )) soit un groupe fini. Théorème (Colliot-Thélène/Skorobogatov/Swinnerton-Dyer 1998) Soit X −→ P1 une fibration avec -les hypothèses techniques -les fibres satisfont le principe de Hasse (pour les zéro-cycles de degré 1) Alors, X satisfait le principe de Hasse pour l’existence de zéro-cycles de degré 1. Théorème (Frossard 2003) Soit X −→ C une fibration en variétés de Severi-Brauer. Alors, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence de zéro-cycles de degré 1 sur X est la seule. LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Mon travail Question naturelle : Plus généralement, pour X −→ C y a-t-il un énoncé généralisant les deux résultats précédents ? Théorème Soit X −→ C une fibration avec -les hypothèses techniques -les fibres satisfont le principe de Hasse (pour les zéro-cycles de degré 1) Alors, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence de zéro-cycles de degré 1 sur X est la seule. Merci beaucoup ! LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Mon travail Question naturelle : Plus généralement, pour X −→ C y a-t-il un énoncé généralisant les deux résultats précédents ? Théorème Soit X −→ C une fibration avec -les hypothèses techniques -les fibres satisfont le principe de Hasse (pour les zéro-cycles de degré 1) Alors, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence de zéro-cycles de degré 1 sur X est la seule. Merci beaucoup ! LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel Introduction Obstruction de Brauer-Manin Zéro-cycles de degré 1 Méthode des fibrations Mon travail Question naturelle : Plus généralement, pour X −→ C y a-t-il un énoncé généralisant les deux résultats précédents ? Théorème Soit X −→ C une fibration avec -les hypothèses techniques -les fibres satisfont le principe de Hasse (pour les zéro-cycles de degré 1) Alors, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence de zéro-cycles de degré 1 sur X est la seule. Merci beaucoup ! LIANG, Yong Qi Méthodes cohomologiques pour l’étude des points rationnel