2009年数学分析考试大纲 2017年06月15日.doc

2009 年长沙理工大学数学专业硕士研究生入学统一考试 数学分析考试大纲 （1）函数 集合 实数概述 列表法和图象法等） 函数） 绝对值不等式 区间与邻域 函数概念 函数的几种表示法（解析法、 一些特殊类型的函数（有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期 函数的有理运算复合函数 反函数 基本初等函数 初等函数 （2）数列极限 数列 数列极限的  — N 定义 收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式 1 性质、迫敛性、有理运算 有界单调数列极限存在定理 lim(1 n) n  e数列的柯西 n 0 （Cauchy）收敛准则的应用 （3）函数极限  —  定义  — M 定义 单侧极限 函数极限性质——唯一性、局部 函数极限 有界性、局外保号性、不等性质、迫敛性、有理运算、归结原则（Heine 定理） sinx 限的柯西准则 lim x 0 极限 x 函数极 1 lim(1 x) x x 0 无穷小量及其阶的比较 记号 o、O、～ 广义 在区间上连续的函数 连续函 复合函数的连续性 闭区间上 无穷大量及其阶的比较 （4）函数的连续性 在一点函数的连续性 单侧连续性 数的局部性质——有界性、保号性 间断点及其分类 连续函数的有理运算 连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性 反函数的连续性 初等函数连续性 （5）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题） 导数定义 单侧导数 导函数 导数的几何 意义、物理意义、无穷导数等 （6）中值定理与导数应用 费马（Fermat）定理 罗尔（Rolle）中值定理 1 拉格朗日（Lagrange）中值定理 柯 西（Cauchy）中值定理 泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项） 算 函数单调性的判别法 点 渐近线 极值 函数图象的讨论 最大值和最小值 凸函数及其应用 近似计 曲线的凹凸性 拐 洛必达（L'Hospital）法则 （7）实数的完备性 确界与确界存在定理 存在收敛子列 区间套定理 聚点定理 数列的柯西（Cauchy）收敛准则 有界无限数列 有限覆盖定理 上极限与下极限 （8）不定积分 原函数与不定积分概念 理 函 数 积 分 法 (R(x, n 基本积分表 线性运算法则 三 角 函 数 有 理 式 的 积 分 换元积分法 分部积分法 有 几 种 无 理 函 数 的 积 分 ax b ), R(x, ax2  bx c ）等 cx d （9）定积分 引入问题（曲边梯形面积与变力作功） 要条件 上和、下和及其性质 定积分定义 定积分的几何意义 可积的必 可积的充要条件 可积函数类——在闭区间上连续函数、在 闭区间只有有限个间断点的有界函数、在闭区间上的单调函数 定积分性质——线性运算 法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理 微积分学基本定理 莱布尼茨公式 换元积分法 分部积分法 用 牛顿- dt 1 t 定义对数函数，并导出对数函数和指数 x 函数的基本性质 （10）定积分的应用 简单平面图形面积 转体体积与侧面积 的应用 曲线的弧长与弧微分 平均值 曲率 已知截面面积函数的立体体积 物理应用（压力、功、静力矩与重心等） 旋 积分在经济学上 定积分在求某些数列极限中的应用与在证明不等式方面的应用 （11）数项级数 级数收敛与和的定义 判别法与根式判别法 收敛 法 交错级数 柯西准则 收敛级数的基本性质 拉贝（Raare）判别法与高斯判别法 莱布尼茨判别法 绝对收敛级数的重排定理 正项级数 比较原则 比式 一般项级数的绝对收敛与条件 阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别 条件收敛级数的黎曼（Riemann）定理 2 （12）反常积分 无穷限反常积分概念 关系 柯西准则 线性运算法则 绝对收敛 反常积分与数项级数的 无穷限反常积分收敛性判别法 无界函数反常积分概念 无界函数反常积分收敛性判别法 （13）函数列与函数项级数 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念 尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法 函数项级数和的连续性 一致收敛的柯西准则 函数项级数的维 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 函数列极限 逐项积分与逐项微分 （14）幂级数 阿贝尔第一定理 收敛半径与收敛区间 一致收敛性、连续性 逐项积分与逐项微分 幂级数的四则运算 泰勒级数 弦函数 泰勒展开的条件 初等函数的泰勒展开 近似计算 用幂级数定义正弦、余 复变量的指数函数与欧拉（Euler）公式 （15）傅里叶（Fourier）级数 三角级数 三角函数系的正交性 傅里叶级数 贝塞尔（Bessel）不等式 黎曼·勒贝 按段光滑且以 2 为周期的函数 格（Riemann-Lebesgue）定理 傅里叶级数的部分和公式 展开为傅里叶级数的收敛定理 奇函数与偶函数的傅里叶级数 以 2l 为周期的函数的逼近 定理 （16）多元函数的极限与连续 平面点集概念（邻域、内点、界点、闭集、开域、闭域等） 平面点集的基本定理 ——区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理 二元函数概念 二重极限 累次极限 二元函数的连续性 复合函数的连续定理 有 界闭域上连续函数的性质 n 维空间与 n 元函数（距离、三角形不等式、极限、连续等） （17）多元函数的微分学 偏导数及其几何意义 微分在近似计算中的应用 的不变性 全微分概念 全微分的几何意义 方向导数与梯度 全微分存在的充分条件 复合函数的偏导数与全微分 高阶导数及其与顺序无关性 高阶微分 3 全 一阶微分形式 二元函数的泰勒定理 二元函数极值 （18）隐函数定理及其应用 隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导 隐函数组概念 隐函数组定理 隐函数组求导 反函数组与坐标变换 函数行列式 函数相关 几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法 （19）含参量积分 含参量积分概念 连续性、可积性和可微性 积分顺序的交换 含参量反常积分的收敛与一致收敛 续性、可积性与可微性 一致收敛的柯西准则 积分顺序的交换 维尔斯特拉斯判别法 连  函数与 B 函数 （20）重积分 平面图形面积 二重积分定义与存在性 二重积分性质 二重积分计算（化为累次积分） 二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换） 三重 积分定义与计算 三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换） 重积分应用（体积，曲面面积，重心，转动惯量等） n 重积分 无界区域上反常二重积分的收敛性概念 无界函数的反常二重积分 无界区域上反常二重积分的收敛性概念 无界函数的反常二重积分 （21）曲线积分与曲面积分 第一型和第二型曲线积分概念与计算 格林（Green）公式 曲线积分与路线无关条件 曲面的侧 第一型和第二型曲积分概念与计算 克斯（Stokes）公式 4 奥斯特罗格拉特斯 高斯公式 斯托